Estime algebricamente o valor do limite lim x 0 e^x-1-xx^2 usando os valores de x fornecidos. Use uma calculadora.
x -0,5 -0,1 -0,0001 -0,00001
f(x)
x 0,5 0,1 0,0001 0,00001
f(x)

Passo 1

Vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de limites, mais especificamente de determinar o limite de uma função quando lim x 0 e^x - 1 - xx^2 se aproxima de zero. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como o comportamento da função se comporta perto de . Usaremos aproximações algébricas e, se necessário, uma calculadora para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + cdots pode ser aproximada por uma série de Taylor quando está perto de zero. A série de Taylor para é:
Para nosso propósito, vamos considerar apenas os primeiros termos, já que estamos olhando para bem próximo de zero.

Passo 3

Substituindo essa aproximação na nossa função original:
e^x - 1 - xx^2 = (1 + x + x^22 + x^36 + cdots) - 1 - xx^2 = x^22 + x^36 + cdotsx^2

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por x^22 + x^36 + cdotsx^2 = x^22x^2 + x^36x^2 + cdots = 12 + x6 + cdots :

Passo 5

À medida que lim x 0 ( 12 + x6 + cdots ) = 12 se aproxima de zero, os termos que contêm (como ) tornam-se insignificantes. Portanto, o limite da nossa função será determinado pelo termo constante:

Resposta

O limite é igual a .

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