Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L§
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. Para isso, precisamos entender quando aplicar essa regra e como derivar as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão com um denominador comum para facilitar a análise:
Passo 4
Observamos que, quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
), tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, que é exatamente quando aplicamos a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Passo 6
Vamos aplicar isso no nosso caso. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 7
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 8
Observamos que
, porque conforme
se aproxima de 0,
cresce sem limites.
Passo 9
Portanto: