Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L§ lim x 0^+(1x-1raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse é um exercício de Cálculo, mais especificamente sobre limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. Para isso, precisamos entender quando aplicar essa regra e como derivar as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
1x - 1raizx = 1x - x^-1/2

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão com um denominador comum para facilitar a análise:
1x - x^-1/2 = 1 - raizxx

Passo 4

Observamos que, quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , que é exatamente quando aplicamos a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:

Passo 6

Vamos aplicar isso no nosso caso. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador ddx(1 - x^1/2) = 0 - 12x^-1/2 = -12raizx :
ddx(x) = 1
Derivada do denominador :

Passo 7

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
lim x 0^+(1 - raizxx) = lim x 0^+(-12raizx1) = -12lim x 0^+1raizx

Passo 8

Observamos que , porque conforme se aproxima de 0, cresce sem limites.

Passo 9

Portanto:
-12 times (+infty) = -infty

Resposta

lim x 0^+(1x-1raizx) = -infty

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