Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, descobrir onde o gráfico é côncavo pra cima ou pra baixo, identificar os pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, trabalhando com derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que vai nos ajudar a identificar os pontos de máximo e mínimo. A derivada mede a taxa de variação da função.
A função é:
A derivada de é . Então, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Resolvendo :
As soluções para no intervalo são:

Passo 4

Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
    á
  • Para :
    í
  • Para :
    á
  • Para :
    í
  • Para :
    á

Passo 5

Agora, vamos descobrir onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo usando a derivada segunda .
  • Quando : concavidade para cima.
  • Quando : concavidade para baixo.
Vamos resolver para encontrar possíveis pontos de inflexão:
As soluções no intervalo são:

Passo 6

Vamos determinar os intervalos de concavidade:
  • Côncavo para cima ( ):
  • Côncavo para baixo ( ):

Passo 7

Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Já identificamos esses pontos como:
Nesses pontos, o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa.

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
  • Máximos em com .
  • Mínimos em com .
  • Pontos de inflexão em .
  • Concavidade alternando entre para cima e para baixo conforme os intervalos definidos.
O gráfico será uma curva oscilante baseada na função cosseno, atingindo picos máximos e mínimos e mudando sua concavidade nos pontos de inflexão.

Resposta

Pontos de Máximo: com .
Pontos de Mínimo: com .
Intervalos de Concavidade:
  • Côncavo para cima em e .
  • Côncavo para baixo nos demais intervalos.
Pontos de Inflexão: .
Gráfico: Uma curva oscilante baseada em , com picos máximos em , mínimos em , e mudando a concavidade nos pontos de inflexão mencionados, no intervalo de a .

Exercícios relacionados

Considerando as funções dadas abaixo,
(b)
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para .
(a)
Determine os extremos absolutos da função no intervalo .
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l)