Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função, descobrir onde o gráfico é côncavo pra cima ou pra baixo, identificar os pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, trabalhando com derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que vai nos ajudar a identificar os pontos de máximo e mínimo. A derivada mede a taxa de variação da função.
A função é:
A derivada de
é
. Então, aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada primeira é zero ou não existe. Esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Resolvendo
:
As soluções para
no intervalo
são:
Passo 4
Vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a derivada segunda.
Primeiro, encontramos a derivada segunda:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, vamos descobrir onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo usando a derivada segunda
.
- Quando
: concavidade para cima. - Quando
: concavidade para baixo.
Vamos resolver
para encontrar possíveis pontos de inflexão:
As soluções no intervalo
são:
Passo 6
Vamos determinar os intervalos de concavidade:
-
Côncavo para cima (
): -
Côncavo para baixo (
):
Passo 7
Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão. Já identificamos esses pontos como:
Nesses pontos, o gráfico muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou vice-versa.
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico com base nas informações obtidas:
- Máximos em
com . - Mínimos em
com . - Pontos de inflexão em
. - Concavidade alternando entre para cima e para baixo conforme os intervalos definidos.
O gráfico será uma curva oscilante baseada na função cosseno, atingindo picos máximos e mínimos e mudando sua concavidade nos pontos de inflexão.
Resposta
Pontos de Máximo:
com
.
Pontos de Mínimo:
com
.
Intervalos de Concavidade:
- Côncavo para cima em
e . - Côncavo para baixo nos demais intervalos.
Pontos de Inflexão:
.
Gráfico: Uma curva oscilante baseada em
, com picos máximos em
, mínimos em
, e mudando a concavidade nos pontos de inflexão mencionados, no intervalo de
a
.
Exercícios relacionados
Considerando as funções dadas abaixo,
(b)
(b)
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(a)
(a)
Determine os extremos absolutos da função
no intervalo
.
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l)