Determine os extremos absolutos da função no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Isso significa que vamos procurar os maiores e menores valores que essa função alcança dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para encontrar pontos onde a função pode atingir esses extremos, além de olhar nas bordas do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, e para ela estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver:
Isso nos dá valores de para os quais a função existe. Resolvendo a inequação quadrática:
Fatorando:
Analisando os intervalos, vemos que a função está definida para entre e . Porém, nosso intervalo de interesse é , que está dentro desse domínio.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar possíveis pontos críticos onde os extremos podem ocorrer. A derivada de é:
Simplificando:

Passo 4

Para achar os pontos críticos, vamos resolver :
O denominador nunca é zero dentro do intervalo considerado, então basta resolver :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo :
  1. Na extremidade :
  1. No ponto crítico :
  1. Na extremidade :

Passo 6

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é em e o menor valor é em .

Resposta

Os extremos absolutos da função no intervalo são:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:

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Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para .
(b)
Considerando as funções dadas abaixo,
(b)
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l)
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que .