Determine os extremos absolutos da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo
. Isso significa que vamos procurar os maiores e menores valores que essa função alcança dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para encontrar pontos onde a função pode atingir esses extremos, além de olhar nas bordas do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada, e para ela estar definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver:
Isso nos dá valores de
para os quais a função existe. Resolvendo a inequação quadrática:
Fatorando:
Analisando os intervalos, vemos que a função está definida para
entre
e
. Porém, nosso intervalo de interesse é
, que está dentro desse domínio.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
para identificar possíveis pontos críticos onde os extremos podem ocorrer. A derivada de
é:
Simplificando:
Passo 4
Para achar os pontos críticos, vamos resolver
:
O denominador nunca é zero dentro do intervalo considerado, então basta resolver
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
:
- Na extremidade
:
- No ponto crítico
:
- Na extremidade
:
Passo 6
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é
em
e o menor valor é
em
.
Resposta
Os extremos absolutos da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto:
Exercícios relacionados
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(b)
(b)
Considerando as funções dadas abaixo,
(b)
(b)
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(l)
Use a regra de L’Hôpital para mostrar que
.