Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(a) lim x 0 sin xx
(b) lim x 0 x-sin xx^3
© lim x infty ln xraizx
(d) lim x 2 2 x^2-5 x+25 x^2-7 x-6
(e) lim x infty ln xraizx
(f) lim x 0 1-cos xx
(g) lim x pi / 2 1-sin xcos ^2 x
(h) lim x 5 raizx-1-2x^2-25
(i) lim x 0 x-arctg xx sin x
(j) lim x 0 sin ^2(x)sin (x^2)
(l) lim x 0 arcsin (2 x)arcsin x
(m) lim x infty(ln x)^1 / x
(n) lim x 0(e^x+x)^1 / x
(o) lim x 0^+(sin x)^x
§ lim x 0^+(1x-1raizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta super útil quando encontramos formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir 0 - sin 00^3 = 0 - 00 = 00 diretamente no limite, obtemos uma forma indeterminada. Substituindo:
Como temos a forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx(x - sin x) = 1 - cos x :
ddx(x^3) = 3x^2
  • Derivada do denominador limx 0 1 - cos x3x^2 :
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo 1 - cos 03 cdot 0^2 = 1 - 10 = 00 :
Ainda temos uma forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivando novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx(1 - cos x) = sin x :
ddx(3x^2) = 6x
  • Derivada do denominador limx 0 sin x6x :
Agora, o limite fica:

Passo 6

Mais uma vez, substituindo sin 06 cdot 0 = 00 :
Ainda na forma , aplicamos a Regra de L’Hôpital pela terceira vez.

Passo 7

Derivando novamente:
  • Derivada do numerador ddx(sin x) = cos x :
ddx(6x) = 6
  • Derivada do denominador limx 0 cos x6 :
Agora, o limite fica:

Passo 8

Substituindo cos 06 = 16 :

Resposta

O limite é igual a .

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