Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta super útil quando encontramos formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se ao substituir
diretamente no limite, obtemos uma forma indeterminada. Substituindo:
Como temos a forma
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos uma forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Derivando novamente o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Mais uma vez, substituindo
:
Ainda na forma
, aplicamos a Regra de L’Hôpital pela terceira vez.
Passo 7
Derivando novamente:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 8
Substituindo
:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Considerando as funções dadas abaixo,
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) . Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de .
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular e
.
v. Esboçar o gráfico de e investigar a existência de extremos globais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
i. Determinar o domínio e as raízes de
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
iii. Analisar a concavidade do gráfico de
iv. Calcular
v. Esboçar o gráfico de
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(a)
(b)
(a)
(b)
Encontre os pontos críticos das funções abaixo