I=integral cos 2 xcos ^2 x-22 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
I = integral cos 2xcos^2 x - 22 , dx
Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões trigonométricas e aplicar técnicas de integração conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que:
cos^2 x - 22 = cos^2 x - 1
Sabemos que cos^2 x pode ser relacionado com funções trigonométricas básicas.

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica fundamental:
cos^2 x = 1 - sin^2 x
Substituindo na expressão anterior:
cos^2 x - 1 = (1 - sin^2 x) - 1 = -sin^2 x
Então, o denominador simplifica para -sin^2 x.

Passo 4

Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
I = integral cos 2x-sin^2 x , dx = -integral cos 2xsin^2 x , dx
Simplificamos assim a integral para facilitar a resolução.

Passo 5

Vamos manipular o numerador cos 2x usando a identidade trigonométrica:
cos 2x = 1 - 2sin^2 x
Substituindo na integral:
- integral 1 - 2sin^2 xsin^2 x , dx

Passo 6

Dividindo cada termo no numerador pelo denominador:
- integral ( 1sin^2 x - 2 ) , dx
Sabemos que 1sin^2 x é igual a csc^2 x.

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
- integral csc^2 x , dx + 2 integral dx
Conhecemos as integrais básicas das funções trigonométricas e constantes.

Passo 8

Calculamos cada integral separadamente:
  • A integral de csc^2 x é -cot x.
  • A integral de dx é x.
Portanto:
- (-cot x) + 2x + C = cot x + 2x + C

Resposta

A integral é igual a:
I = cot x + 2x + C

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