Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para 0 <= x <= 2 pi.
(a) f(x) = sen(2x)
(b) f(x) = 1/3 + 2/3 cos(2x)

Passo 1

Então, temos dois exercícios aqui onde a gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo, identificar onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo, determinar os pontos de inflexão e, por último, fazer um esboço do gráfico para . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar essas características das funções. Vamos resolver as partes (a) e (b) uma por uma.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com a função .
Primeiro, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a primeira derivada da função e encontrar onde ela é zero ou indefinida, pois esses pontos são candidatos a extremos locais.
A derivada de em relação a é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que o cosseno é zero em:
Dentro do intervalo , os pontos críticos são:

Passo 3

Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada em torno dos pontos críticos.
Vamos calcular a segunda derivada:
Analisando em cada ponto crítico:
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á
  1. :
í

Passo 4

Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Isso depende do sinal da segunda derivada.
  • Côncavo para cima quando :
  • Côncavo para baixo quando :
Dentro de :
  • para e → Côncavo para baixo
  • para e → Côncavo para cima

Passo 5

Os pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece quando ou não existe.
Resolvendo :
Dentro do intervalo , os pontos de inflexão são:

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • Máximos Locais: ,
  • Mínimos Locais: ,
  • Pontos de Inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em e
    • Côncavo para cima em e

Passo 7

Parte (b): Agora, vamos resolver para a função .
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Dentro de , os pontos críticos são:

Passo 8

Calculamos a segunda derivada:
Para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos:
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á

Passo 9

Identificando a concavidade com base na segunda derivada:
  • Côncavo para cima quando :
  • Côncavo para baixo quando :
Dentro de :
  • para e → Côncavo para baixo
  • para → Côncavo para cima

Passo 10

Os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde :
Dentro de , os pontos de inflexão são:

Passo 11

Vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • Máximos Locais: , ,
  • Mínimos Locais: ,
  • Pontos de Inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em e
    • Côncavo para cima em

Resposta

Para a função no intervalo :
  • Máximos Locais: , e
  • Mínimos Locais: e
  • Côncavo para cima:
  • Côncavo para baixo: e
  • Pontos de Inflexão:

Exercícios relacionados

Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
2x + 5y - 3 = 0 ; θ = arctg(2,5).
Encontrar as novas coordenadas dos pontos 1,0 e 0,1 quando os eixos coordenados são rodados num ângulo de 90 graus.
Considerando as funções dadas abaixo,
(a) f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1
(b) f(x)=x^4+4 x^2-16
© f(x)=x^2(12-x^2)
(d) f(x)=2 x^3-6 x
(e) f(x)=x raiz1-x
(f) f(x)=x e^x
(g) f(x)=x ln x. Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de f.
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de f e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
v. Esboçar o gráfico de f e investigar a existência de extremos globais.
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(a) lim x 0 sin xx
(b) lim x 0 x-sin xx^3
© lim x infty ln xraizx
(d) lim x 2 2 x^2-5 x+25 x^2-7 x-6
(e) lim x infty ln xraizx
(f) lim x 0 1-cos xx
(g) lim x pi / 2 1-sin xcos ^2 x
(h) lim x 5 raizx-1-2x^2-25
(i) lim x 0 x-arctg xx sin x
(j) lim x 0 sin ^2(x)sin (x^2)
(l) lim x 0 arcsin (2 x)arcsin x
(m) lim x infty(ln x)^1 / x
(n) lim x 0(e^x+x)^1 / x
(o) lim x 0^+(sin x)^x
§ lim x 0^+(1x-1raizx)