Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Então, temos dois exercícios aqui onde a gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo, identificar onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo, determinar os pontos de inflexão e, por último, fazer um esboço do gráfico para
. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar essas características das funções. Vamos resolver as partes (a) e (b) uma por uma.
Passo 2
Parte (a): Vamos começar com a função
.
Primeiro, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a primeira derivada da função e encontrar onde ela é zero ou indefinida, pois esses pontos são candidatos a extremos locais.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que o cosseno é zero em:
Dentro do intervalo
, os pontos críticos são:
Passo 3
Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada em torno dos pontos críticos.
Vamos calcular a segunda derivada:
Analisando em cada ponto crítico:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Isso depende do sinal da segunda derivada.
-
Côncavo para cima quando
: -
Côncavo para baixo quando
:
Dentro de
:
-
para e → Côncavo para baixo -
para e → Côncavo para cima
Passo 5
Os pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece quando
ou não existe.
Resolvendo
:
Dentro do intervalo
, os pontos de inflexão são:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
no intervalo
.
- Máximos Locais:
, - Mínimos Locais:
, - Pontos de Inflexão:
- Concavidade:
- Côncavo para baixo em
e - Côncavo para cima em
e
- Côncavo para baixo em
Passo 7
Parte (b): Agora, vamos resolver para a função
.
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Dentro de
, os pontos críticos são:
Passo 8
Calculamos a segunda derivada:
Para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 9
Identificando a concavidade com base na segunda derivada:
-
Côncavo para cima quando
: -
Côncavo para baixo quando
:
Dentro de
:
-
para e → Côncavo para baixo -
para → Côncavo para cima
Passo 10
Os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde
:
Dentro de
, os pontos de inflexão são:
Passo 11
Vamos esboçar o gráfico de
no intervalo
.
- Máximos Locais:
, , - Mínimos Locais:
, - Pontos de Inflexão:
- Concavidade:
- Côncavo para baixo em
e - Côncavo para cima em
- Côncavo para baixo em
Resposta
Para a função
no intervalo
:
- Máximos Locais:
, e - Mínimos Locais:
e - Côncavo para cima:
- Côncavo para baixo:
e - Pontos de Inflexão:
Exercícios relacionados
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Encontrar as novas coordenadas dos pontos
e
quando os eixos coordenados são rodados num ângulo de
.
Considerando as funções dadas abaixo,
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) . Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de .
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular e
.
v. Esboçar o gráfico de e investigar a existência de extremos globais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
i. Determinar o domínio e as raízes de
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
iii. Analisar a concavidade do gráfico de
iv. Calcular
v. Esboçar o gráfico de
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§