Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para 0 <= x <= 2 pi.
(a) f(x) = sen(2x)
(b) f(x) = 1/3 + 2/3 cos(2x)

Passo 1

Então, temos dois exercícios aqui onde a gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo, identificar onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo, determinar os pontos de inflexão e, por último, fazer um esboço do gráfico para . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar essas características das funções. Vamos resolver as partes (a) e (b) uma por uma.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar com a função .
Primeiro, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos calcular a primeira derivada da função e encontrar onde ela é zero ou indefinida, pois esses pontos são candidatos a extremos locais.
A derivada de em relação a é:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que o cosseno é zero em:
Dentro do intervalo , os pontos críticos são:

Passo 3

Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada ou analisamos o sinal da primeira derivada em torno dos pontos críticos.
Vamos calcular a segunda derivada:
Analisando em cada ponto crítico:
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á
  1. :
í

Passo 4

Agora, vamos identificar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo. Isso depende do sinal da segunda derivada.
  • Côncavo para cima quando :
  • Côncavo para baixo quando :
Dentro de :
  • para e → Côncavo para baixo
  • para e → Côncavo para cima

Passo 5

Os pontos de inflexão são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Isso acontece quando ou não existe.
Resolvendo :
Dentro do intervalo , os pontos de inflexão são:

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • Máximos Locais: ,
  • Mínimos Locais: ,
  • Pontos de Inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em e
    • Côncavo para cima em e

Passo 7

Parte (b): Agora, vamos resolver para a função .
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Dentro de , os pontos críticos são:

Passo 8

Calculamos a segunda derivada:
Para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos:
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á
  1. :
í
  1. :
á

Passo 9

Identificando a concavidade com base na segunda derivada:
  • Côncavo para cima quando :
  • Côncavo para baixo quando :
Dentro de :
  • para e → Côncavo para baixo
  • para → Côncavo para cima

Passo 10

Os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde :
Dentro de , os pontos de inflexão são:

Passo 11

Vamos esboçar o gráfico de no intervalo .
  • Máximos Locais: , ,
  • Mínimos Locais: ,
  • Pontos de Inflexão:
  • Concavidade:
    • Côncavo para baixo em e
    • Côncavo para cima em

Resposta

Para a função no intervalo :
  • Máximos Locais: , e
  • Mínimos Locais: e
  • Côncavo para cima:
  • Côncavo para baixo: e
  • Pontos de Inflexão:

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