Considerando as funções dadas abaixo,
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
. Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de
.
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de
e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular
e
.
v. Esboçar o gráfico de
e investigar a existência de extremos globais.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
i. Determinar o domínio e as raízes de
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
iii. Analisar a concavidade do gráfico de
iv. Calcular
v. Esboçar o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função
e precisamos:
- Determinar o domínio e as raízes de
. - Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
e seus extremos locais. - Analisar a concavidade do gráfico de
e investigar seus possíveis pontos de inflexão. - Calcular
e . - Esboçar o gráfico de
e investigar a existência de extremos globais.
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada coisa de um jeito bem tranquilo!
Passo 2
i. Determinar o domínio e as raízes de
.
-
Domínio: Primeiro, precisamos achar para quais valores de
a função está definida. Como temos , o argumento do logaritmo deve ser positivo. Portanto, . -
Raízes: As raízes são os valores de
que fazem . Vamos resolver: Isso acontece quandoou . Mas, lembrando que , não está no domínio. Então, implica .
Passo 3
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
e seus extremos locais.
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos derivar
:
Agora, analisamos onde
(crescendo) e
(decrescendo):
-
quando (aproximadamente 0,3679) -
quando
Então:
- Crescendo em
- Decrescendo em
Extremos Locais:
A função muda de decrescente para crescente em
, indicando um mínimo local nesse ponto.
Passo 4
iii. Analisar a concavidade do gráfico de
e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
Para analisar a concavidade, vamos derivar novamente
:
- Quando
: Concava para cima - Quando
: Concava para baixo
Como
:
-
para todo
Isso significa que a função é sempre concava para cima e não possui pontos de inflexão.
Passo 5
iv. Calcular
e
.
-
Para
: Isso porque tantoquanto crescem sem limite. -
Para
: Nossa função só está definida para, então esse limite não existe ou não é aplicável.
Passo 6
v. Esboçar o gráfico de
e investigar a existência de extremos globais.
Vamos juntar todas as informações:
- Domínio:
- Raiz:
- Crescimento:
- Decrescimento:
- Mínimo Local: Em
- Concavidade: Sempre concava para cima
- Limites: Vai para
quando
Esboço do Gráfico:
- A função começa em
próximo de 0, aumentando a partir de . - Diminui até
onde atinge o mínimo local. - Depois, começa a crescer indefinidamente conforme
aumenta.
Extremos Globais:
Na análise, vemos que a função tem apenas um mínimo local e não possui máximos globais, já que cresce sem limite para
.
Resposta
A função
está definida para
, tem uma raiz em
, está decrescendo no intervalo
e crescendo em
com um mínimo local em
. Ela é sempre concava para cima, não possui pontos de inflexão e tende a
quando
vai para
. O gráfico confirma esses comportamentos, e a função não possui extremos globais além do mínimo local encontrado.
Exercícios relacionados
Determine os pontos de máximo e mínimo, localize os intervalos em que o gráfico da função dada é côncavo para cima ou para baixo, determine os pontos de inflexão e esboce o gráfico para
.
(a)
(b)
(a)
(b)
Transformar as equações a seguir indicadas, por rotação dos eixos coordenados através dos ângulos dados:
.
Calcule os limites a seguir utilizando a regra de L(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
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