Considerando as funções dadas abaixo,
(a) f(x)=x^3-6 x^2+9 x+1
(b) f(x)=x^4+4 x^2-16
© f(x)=x^2(12-x^2)
(d) f(x)=2 x^3-6 x
(e) f(x)=x raiz1-x
(f) f(x)=x e^x
(g) f(x)=x ln x. Pede-se:
i. Determinar o domínio e as raízes de f.
ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f e seus extremos locais.
iii. Analisar a concavidade do gráfico de f e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
iv. Calcular lim x +infty f(x) e lim x -infty f(x).
v. Esboçar o gráfico de f e investigar a existência de extremos globais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função e precisamos:
  1. Determinar o domínio e as raízes de .
  2. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de e seus extremos locais.
  3. Analisar a concavidade do gráfico de e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
  4. Calcular e .
  5. Esboçar o gráfico de e investigar a existência de extremos globais.
Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada coisa de um jeito bem tranquilo!

Passo 2

i. Determinar o domínio e as raízes de x ln x = 0 .
  • Domínio: Primeiro, precisamos achar para quais valores de a função está definida. Como temos , o argumento do logaritmo deve ser positivo. Portanto, .
  • Raízes: As raízes são os valores de que fazem . Vamos resolver:
    Isso acontece quando ou . Mas, lembrando que , não está no domínio. Então, implica .

Passo 3

ii. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f'(x) = ddx (x ln x) = ln x + 1 e seus extremos locais.
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos derivar :
Agora, analisamos onde (crescendo) e (decrescendo):
  • quando (aproximadamente 0,3679)
  • quando
Então:
  • Crescendo em
  • Decrescendo em
Extremos Locais:
A função muda de decrescente para crescente em , indicando um mínimo local nesse ponto.

Passo 4

iii. Analisar a concavidade do gráfico de f''(x) = ddx (ln x + 1) = 1x e investigar seus possíveis pontos de inflexão.
Para analisar a concavidade, vamos derivar novamente :
  • Quando : Concava para cima
  • Quando : Concava para baixo
Como :
  • para todo
Isso significa que a função é sempre concava para cima e não possui pontos de inflexão.

Passo 5

iv. Calcular limx +infty x ln x = +infty e .
  • Para :
    Isso porque tanto quanto crescem sem limite.
  • Para :
    Nossa função só está definida para , então esse limite não existe ou não é aplicável.

Passo 6

v. Esboçar o gráfico de e investigar a existência de extremos globais.
Vamos juntar todas as informações:
  • Domínio:
  • Raiz:
  • Crescimento:
  • Decrescimento:
  • Mínimo Local: Em
  • Concavidade: Sempre concava para cima
  • Limites: Vai para quando
Esboço do Gráfico:
  1. A função começa em próximo de 0, aumentando a partir de .
  2. Diminui até onde atinge o mínimo local.
  3. Depois, começa a crescer indefinidamente conforme aumenta.
Extremos Globais:
Na análise, vemos que a função tem apenas um mínimo local e não possui máximos globais, já que cresce sem limite para .

Resposta

A função está definida para , tem uma raiz em , está decrescendo no intervalo e crescendo em com um mínimo local em . Ela é sempre concava para cima, não possui pontos de inflexão e tende a quando vai para . O gráfico confirma esses comportamentos, e a função não possui extremos globais além do mínimo local encontrado.

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