Calcule os limites trigonométricos:
lim x 0 cos 5 x-cos 3 xsin 4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite trigonométrico:
lim x 0 cos 5x - cos 3xsin 4x
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites trigonométricos e algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que relaciona a diferença de cossenos. A identidade é:
cos A - cos B = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)
Aplicando isso no numerador da nossa expressão:
cos 5x - cos 3x = -2 sin(5x + 3x2) sin(5x - 3x2) = -2 sin(4x) sin(x)

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta no limite:
lim x 0 -2 sin(4x) sin(x)sin 4x
Observamos que o sin 4x no numerador e no denominador pode ser simplificado:
lim x 0 -2 sin(x)1 = lim x 0 -2 sin(x)

Passo 4

Sabemos que limx 0 sin(x) = 0. Então, substituindo:
-2 times 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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