O plano pi contém a reta r: X = (1, 1, 0) + lambda(1, 2, 3), lambda em R, e é transversal aos eixo coordenados O y e O z, interceptando-os, respetivamente, nos pontos A e B. Obtenha a equação geral de pi, sabendo que O, A e B são vértices de um triângulo isósceles.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem um plano pi que contém a reta , onde lambda é um número real. Além disso, esse plano corta os eixos y e z nos pontos A e B, respectivamente, e forma um triângulo isósceles com o ponto original O. Nosso objetivo é encontrar a equação geral desse plano pi.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação de planos, interseção com eixos coordenados e propriedades de triângulos isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos A e B onde o plano pi corta os eixos y e z.
Quando o plano corta o eixo y, as coordenadas de x e z são zero. Então, o ponto A terá a forma . Similarmente, quando corta o eixo z, as coordenadas de x e y são zero, então B será .

Passo 3

Sabemos que o triângulo formado pelos pontos O, A e B é isósceles. Isso significa que dois lados desse triângulo têm o mesmo comprimento. Vamos calcular as distâncias:
  • Distância :
  • Distância :
  • Distância :
Como o triângulo é isósceles, podemos ter duas situações:
  1. ou
Vamos considerar a primeira opção para simplificar:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a equação do plano pi. Sabemos que o plano contém a reta r com ponto diretor (1, 2, 3) e passa pelo ponto (1, 1, 0).
A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Para achar os coeficientes A, B, C, e D, precisamos de mais informações. Como o plano contém a reta r, tanto o ponto (1, 1, 0) quanto o vetor diretor (1, 2, 3) devem satisfazer a equação do plano.

Passo 5

Além disso, sabemos que o plano corta os eixos y e z nos pontos A e B, que são e , respectivamente. Esses pontos também devem satisfazer a equação do plano.
Vamos substituir esses pontos na equação do plano:
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 6

Também, o ponto (1, 1, 0) da reta r está no plano, então substituímos na equação do plano:
E, como o vetor diretor (1, 2, 3) da reta está no plano, ele é paralelo ao plano. Isso significa que o vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano . Portanto:

Passo 7

Temos agora um sistema de quatro equações:
Lembrando que . Vamos assumir para simplificar (a outra possibilidade seguirá o mesmo raciocínio).
Então, , e nossas equações ficam:

Passo 8

A partir das equações (1) e (2):
Subtraindo D de ambos os lados:
Como a != 0, podemos dividir por a:
Agora, substituímos na equação (4):

Passo 9

Agora, substituímos na equação (3):
Também, da equação (1):
Como B != 0 (senão teríamos um plano trivial), temos:
Então,

Passo 10

Agora, sabemos que , e as relações entre os coeficientes são:
Podemos escolher um valor para B diferente de zero para simplificar. Vamos escolher .
Então:

Resposta

A equação geral do plano pi é:

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