O plano
contém a reta
, e é transversal aos eixo coordenados
e
, interceptando-os, respetivamente, nos pontos
e
. Obtenha a equação geral de
, sabendo que
e
são vértices de um triângulo isósceles.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem um plano
que contém a reta
, onde
é um número real. Além disso, esse plano corta os eixos
e
nos pontos
e
, respectivamente, e forma um triângulo isósceles com o ponto original
. Nosso objetivo é encontrar a equação geral desse plano
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação de planos, interseção com eixos coordenados e propriedades de triângulos isósceles.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos
e
onde o plano
corta os eixos
e
.
Quando o plano corta o eixo
, as coordenadas de
e
são zero. Então, o ponto
terá a forma
. Similarmente, quando corta o eixo
, as coordenadas de
e
são zero, então
será
.
Passo 3
Sabemos que o triângulo formado pelos pontos
,
e
é isósceles. Isso significa que dois lados desse triângulo têm o mesmo comprimento. Vamos calcular as distâncias:
-
Distância
: -
Distância
: -
Distância
:
Como o triângulo é isósceles, podemos ter duas situações:
-
-
ou
Vamos considerar a primeira opção para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a equação do plano
. Sabemos que o plano contém a reta
com ponto diretor
e passa pelo ponto
.
A equação geral de um plano pode ser escrita como:
Para achar os coeficientes
,
,
, e
, precisamos de mais informações. Como o plano contém a reta
, tanto o ponto
quanto o vetor diretor
devem satisfazer a equação do plano.
Passo 5
Além disso, sabemos que o plano corta os eixos
e
nos pontos
e
, que são
e
, respectivamente. Esses pontos também devem satisfazer a equação do plano.
Vamos substituir esses pontos na equação do plano:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 6
Também, o ponto
da reta
está no plano, então substituímos na equação do plano:
E, como o vetor diretor
da reta está no plano, ele é paralelo ao plano. Isso significa que o vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano
. Portanto:
Passo 7
Temos agora um sistema de quatro equações:
Lembrando que
. Vamos assumir
para simplificar (a outra possibilidade seguirá o mesmo raciocínio).
Então,
, e nossas equações ficam:
Passo 8
A partir das equações (1) e (2):
Subtraindo
de ambos os lados:
Como
, podemos dividir por
:
Agora, substituímos
na equação (4):
Passo 9
Agora, substituímos
na equação (3):
Também, da equação (1):
Como
(senão teríamos um plano trivial), temos:
Então,
Passo 10
Agora, sabemos que
, e as relações entre os coeficientes são:
Podemos escolher um valor para
diferente de zero para simplificar. Vamos escolher
.
Então:
Resposta
A equação geral do plano
é: