Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais regiões do plano t-y satisfazem as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não-lineares. A matéria que vamos usar aqui é o próprio Teorema de Existência e Unicidade, que garante que existe uma solução única para a equação diferencial dada, desde que certas condições sejam atendidas. Para resolver isso, vamos analisar a função que define a equação e verificar onde ela é contínua e onde também é contínua a sua derivada parcial em relação a y.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função f(t, y) da nossa equação diferencial:
Para o teorema funcionar, f(t, y) precisa ser contínua. Olhando para essa função, vemos que ela é composta por cot(t), que é
, e por
.
Passo 3
Agora, vamos ver onde f(t, y) pode não ser contínua:
- Cot(t) não está definido quando
, ou seja, quando , onde é um número inteiro. - O denominador
não pode ser zero, então .
Al��m disso, precisamos que a derivada parcial de f(t, y) em relação a y também seja contínua. Vamos calcular essa derivada:
Essa derivada também não está definida quando
(ou seja,
) e quando
não está definida (quando
).
Passo 4
Então, reunindo tudo, as condições para que o Teorema de Existência e Unicidade seja válido são:
- t não pode ser múltiplo de
, ou seja, . - y não pode ser igual a
.
Resposta
A região do plano t-y onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é todo t real diferente de múltiplos de
e todo y real diferente de
. Em outras palavras:
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(b) Se
não for identicamente nula, suponha que a solução da Equação (2) é da forma
onde
, agora, é uma função de
. Substituindo
na equação diferencial dada por essa expressão, mostre que
tem que satisfazer a condição