Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quais regiões do plano t-y satisfazem as condições do Teorema de Existência e Unicidade para equações não-lineares. A matéria que vamos usar aqui é o próprio Teorema de Existência e Unicidade, que garante que existe uma solução única para a equação diferencial dada, desde que certas condições sejam atendidas. Para resolver isso, vamos analisar a função que define a equação e verificar onde ela é contínua e onde também é contínua a sua derivada parcial em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função f(t, y) da nossa equação diferencial:
Para o teorema funcionar, f(t, y) precisa ser contínua. Olhando para essa função, vemos que ela é composta por cot(t), que é , e por .

Passo 3

Agora, vamos ver onde f(t, y) pode não ser contínua:
  1. Cot(t) não está definido quando , ou seja, quando , onde é um número inteiro.
  2. O denominador não pode ser zero, então .
Al��m disso, precisamos que a derivada parcial de f(t, y) em relação a y também seja contínua. Vamos calcular essa derivada:
Essa derivada também não está definida quando (ou seja, ) e quando não está definida (quando ).

Passo 4

Então, reunindo tudo, as condições para que o Teorema de Existência e Unicidade seja válido são:
  • t não pode ser múltiplo de , ou seja, .
  • y não pode ser igual a .

Resposta

A região do plano t-y onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é todo t real diferente de múltiplos de e todo y real diferente de . Em outras palavras:
é

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