Calcule os limites quando x -> a.
f(x) = (raiz(1 + 2 x) - 3) / (raiz(x) - 2), a = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria aqui é sobre cálculo de limites, especialmente quando temos expressões com raízes quadradas que podem levar a uma forma indeterminada do tipo 0/0. Vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x por 4 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, a gente se depara com uma forma indeterminada 0/0, que significa que precisamos de mais passos para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada 0/0, uma boa estratégia é racionalizar uma das partes da fração para simplificar. Vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjugada. A conjugada de é .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada:
Lembrando que .

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Podemos fatorar o numerador:
Então:

Passo 6

Observamos que , então está chegando a 0. Vamos reescrever o denominador de uma forma que possamos cancelar com . Sabemos que:
Então, substituindo na expressão:
Agora podemos cancelar :

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir x por 4:

Resposta

O limite quando x tende a 4 é 4/3.

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