Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações lambda in R, lambda in R, e . As trajetórias são concorrentes? Haverá colisão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas trajetórias descritas por equações paramétricas no espaço tridimensional. O que a gente quer descobrir é se essas trajetórias são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, o que significaria que poderia haver uma colisão. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as equações paramétricas de linhas no espaço e saber resolver sistemas de equações para encontrar pontos em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações das duas trajetórias que foram dadas:
Trajetória :
Trajetória :
Aqui, e são parâmetros que variam nos números reais, e e indicam os sistemas de coordenadas utilizados.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa cada parte dessas equações. A forma geral de uma equação paramétrica de uma linha no espaço é:
onde:
  • é um ponto da linha,
  • é o vetor diretor da linha,
  • é o parâmetro.
No nosso caso:
  • Para a trajetória , e .
  • Para a trajetória , e .

Passo 4

Para verificar se as trajetórias são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto, precisamos verificar se existe um par de valores que satisfaça as duas equações simultaneamente. Isso significa que as coordenadas , e devem ser iguais para os dois pontos correspondentes.
Então, vamos igualar as componentes das equações:
Para a coordenada :
Para a coordenada :
Para a coordenada :

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema. Come��amos da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Como a igualdade é verdadeira, encontramos um par que satisfaz as três equações. Isso significa que existe um ponto comum às duas trajetórias.

Resposta

Sim, as trajetórias são concorrentes e haverá colisão no ponto correspondente aos parâmetros e .

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