Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
se aproxima de 1 pela direita e utilizar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador
quando
se aproxima de 1 pela direita. Se substituirmos
, temos
. Portanto, o numerador tende a 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Novamente, substituindo
, temos
. Então, o denominador também tende a 0.
Passo 4
Quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada
, uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 5
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, derivamos o numerador
:
A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então,
Passo 6
Agora, derivamos o denominador
:
A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então,
Passo 7
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
Passo 8
Agora, vamos substituir
nesse novo limite. Primeiro, calculamos o numerador:
E o denominador:
Passo 9
Portanto, o limite agora é:
Isso significa que o limite tende ao infinito positivo.
Resposta
Exercícios relacionados
Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e
.
(g)
iv. Calcular
Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Represente a região
geometricamente e calcule sua área.
Determine o domínio da função
.
Determine
e
reais, de modo que a função
definida por
seja derivável.