Calcule limlimitsx to 1^+dfracraizx^2 -1sin(x-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de 1 pela direita e utilizar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador quando se aproxima de 1 pela direita. Se substituirmos , temos . Portanto, o numerador tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Novamente, substituindo , temos . Então, o denominador também tende a 0.

Passo 4

Quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada , uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, derivamos o numerador ddx raizx^2 - 1 = 12raizx^2 - 1 cdot 2x = xraizx^2 - 1 :
A derivada de em relação a é , onde . Então,

Passo 6

Agora, derivamos o denominador ddx sin(x - 1) = cos(x - 1) cdot 1 = cos(x - 1) :
A derivada de em relação a é , onde . Então,

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:
limlimitsx to 1^+ xraizx^2 - 1cos(x - 1)

Passo 8

Agora, vamos substituir 1raiz1^2 - 1 = 1raiz0 = infinito nesse novo limite. Primeiro, calculamos o numerador:
cos(1 - 1) = cos(0) = 1
E o denominador:

Passo 9

Portanto, o limite agora é:
infty1 = infty
Isso significa que o limite tende ao infinito positivo.

Resposta

Exercícios relacionados