Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de 1 pela direita e utilizar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador quando se aproxima de 1 pela direita. Se substituirmos , temos . Portanto, o numerador tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Novamente, substituindo , temos . Então, o denominador também tende a 0.

Passo 4

Quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada , uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, derivamos o numerador :
A derivada de em relação a é , onde . Então,

Passo 6

Agora, derivamos o denominador :
A derivada de em relação a é , onde . Então,

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma em:

Passo 8

Agora, vamos substituir nesse novo limite. Primeiro, calculamos o numerador:
E o denominador:

Passo 9

Portanto, o limite agora é:
Isso significa que o limite tende ao infinito positivo.

Resposta

Exercícios relacionados

Considerando as funções dadas abaixo,
(g) . Pede-se:
iv. Calcular e .
Seja a região delimitada pelas curvas e . Represente a região geometricamente e calcule sua área.
Determine o domínio da função .
Determine e reais, de modo que a função definida por seja derivável.