Determine
e
reais, de modo que a função
definida por
seja derivável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
que fazem a função
ser derivável em todos os pontos reais. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
:
Para que a função seja derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas iguais pela esquerda e pela direita. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, e também deve ser igual ao valor da função em
.
Vamos calcular:
Quando
:
Quando
, vamos considerar o limite quando
se aproxima de 1:
Para a continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Isso significa que as derivadas da função pela esquerda e pela direita de
devem ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das duas partes da função.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Para a derivabilidade:
Passo 4
Observamos que, ao calcular a continuidade e a derivabilidade, acabamos com a mesma equação:
. Isso significa que precisamos de mais informações para determinar valores específicos para
e
. No entanto, como temos apenas uma equação com duas incógnitas, a solução é uma família de pares
que satisfazem
.
Resposta
Os valores de
e
satisfazem a relação
. Ou seja, para qualquer real
,
deve ser igual a
para que a função
seja derivável.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
.
Calcule
.
Seja
. Determine os pontos do gráfico de
nos quais a reta tangente é horizontal.
(b) Ache a equação paramêtrica da curva da interseção da superficie com o plano