Determine e reais, de modo que a função definida por seja derivável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e que fazem a função ser derivável em todos os pontos reais. A função é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de :
Para que a função seja derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas iguais pela esquerda e pela direita. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, e também deve ser igual ao valor da função em .
Vamos calcular:
Quando :
Quando , vamos considerar o limite quando se aproxima de 1:
Para a continuidade:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Isso significa que as derivadas da função pela esquerda e pela direita de devem ser iguais.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das duas partes da função.
Para :
Então,
Para :
Então,
Para a derivabilidade:
é

Passo 4

Observamos que, ao calcular a continuidade e a derivabilidade, acabamos com a mesma equação: . Isso significa que precisamos de mais informações para determinar valores específicos para e . No entanto, como temos apenas uma equação com duas incógnitas, a solução é uma família de pares que satisfazem .

Resposta

Os valores de e satisfazem a relação . Ou seja, para qualquer real , deve ser igual a para que a função seja derivável.

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Determine o domínio da função .
Calcule .
Seja . Determine os pontos do gráfico de nos quais a reta tangente é horizontal.
(b) Ache a equação paramêtrica da curva da interseção da superficie com o plano