Calcule o livre caminho médio para as moléculas de metano, CH4(sigma=0,46 nm^2 ) a 25,0^circ C nas pressões de:
p=1,00 bar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o livre caminho médio das moléculas de metano, CH4, a uma temperatura de 25,0^circ C e pressão de 1,00 bar. Para isso, vamos usar conceitos da teoria cinética dos gases, especialmente a fórmula que relaciona temperatura, pressão e o tamanho das moléculas para encontrar o caminho médio que uma molécula percorre entre duas colisões.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas da física geralmente usam Kelvin. A conversão é simples:
T(K) = T(^circ C) + 273,15
Então,
T = 25,0 + 273,15 = 298,15 , K

Passo 3

Agora, vamos identificar todas as variáveis que precisamos para a fórmula do livre caminho médio ( lambda):
  • Constante de Boltzmann ( kB): 1,38 times 10^-23 , J/K
  • Temperatura ( T): 298,15 , K
  • Diâmetro efetivo das moléculas ( sigma): 0,46 , nm = 0,46 times 10^-9 , m
  • Pressão ( p): 1,00 , bar = 10^5 , Pa

Passo 4

A fórmula para calcular o livre caminho médio é:
lambda = kB Traiz2 pi sigma^2 p
Vamos entender cada parte:
  • kB T: Energia térmica por molécula.
  • raiz2 pi sigma^2 p: Representa a frequência com que as moléculas colidem, considerando a área efetiva de colisão.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
lambda = 1,38 times 10^-23 , J/K times 298,15 , Kraiz2 times pi times (0,46 times 10^-9 , m)^2 times 10^5 , Pa

Passo 6

Primeiro, calculamos o denominador:
  1. Calculamos sigma^2:
sigma^2 = (0,46 times 10^-9)^2 = 0,2116 times 10^-18 , m^2
  1. Multiplicamos por pi:
pi times 0,2116 times 10^-18 = 0,665 times 10^-18 , m^2
  1. Multiplicamos por raiz2:
raiz2 times 0,665 times 10^-18 approx 0,942 times 10^-18 , m^2
  1. Finalmente, multiplicamos pelo pressão p:
0,942 times 10^-18 times 10^5 = 0,942 times 10^-13 , m^2 cdot Pa

Passo 7

Agora, calculamos o numerador:
1,38 times 10^-23 , J/K times 298,15 , K = 4,11 times 10^-21 , J
Lembrando que 1 , J = 1 , Pa cdot m^3, então a unidade está consistente.

Passo 8

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar lambda:
lambda = 4,11 times 10^-210,942 times 10^-13 approx 4,36 times 10^-8 , m
Convertendo para nanômetros:
4,36 times 10^-8 , m = 43,6 , nm

Resposta

O livre caminho médio das moléculas de metano a 25,0^circ C e 1,00 bar é aproximadamente 43,6 , nm.

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