Calcule la longitud de arco entre
y
de la gráfica de la ecuación (use la definición 4):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a comprimento do arco entre os pontos
e
na gráfica de uma equação específica. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais exatamente ao estudo de comprimentos de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco que envolve integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva
entre
e
:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços do arco da curva, considerando a inclinação em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos focar na parte a) do exercício:
Primeiro, precisamos expressar
em função de
para facilitar a aplicação da fórmula. Vamos isolar
:
Passo 4
Com
, vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Vamos agora substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Para simplificar a integral, vamos fatorar:
Infelizmente, essa integral não tem uma solução elementar simples, então podemos aproximar numericamente ou deixar a resposta em termos de integral definida.
Passo 7
Vamos deixar a expressão do comprimento de arco em forma de integral definida:
Para obter um valor numérico, precisaríamos usar técnicas de integração numérica ou uma calculadora avançada.
Resposta
O comprimento do arco entre
e
na gráfica da equação
é dado pela integral:
Para um valor numérico preciso, recomenda-se calcular essa integral usando métodos numéricos.
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Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
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Derive as funções aplicando os teoremas ou regras de derivação:
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