Calcule la longitud de arco entre A y B de la gráfica de la ecuación (use la definición 4):
& a) 8 x^2=27 y^3 ; A(1 ; 2 / 3) B(8 ; 8 / 3) & b) (y+1)^2=(x-4)^3 ; A(5 ; 0) B(8 ; 7) & c) y=5-raizx^3 ; A(1 ; 4) B(4 ;-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a comprimento do arco entre os pontos e na gráfica de uma equação específica. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais exatamente ao estudo de comprimentos de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx entre e :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços do arco da curva, considerando a inclinação em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte a) do exercício:
8x^2 = 27y^3; A(1 ; 23) B(8 ; 83)
Primeiro, precisamos expressar 8x^2 = 27y^3 y^3 = 827x^2 y = ( 827x^2 )^13 y = 23x^23 em função de para facilitar a aplicação da fórmula. Vamos isolar :

Passo 4

Com y = 23x^23 dydx = 23 cdot 23x^-13 dydx = 49x^-13 , vamos calcular a derivada :

Passo 5

Vamos agora substituir L = integral1^8 raiz1 + ( 49x^-13 )^2 , dx L = integral1^8 raiz1 + 1681x^-23 , dx na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Para simplificar a integral, vamos fatorar:
raiz1 + 1681x^-23 = raiz1 + 1681 cdot 1x^23
Infelizmente, essa integral não tem uma solução elementar simples, então podemos aproximar numericamente ou deixar a resposta em termos de integral definida.

Passo 7

Vamos deixar a expressão do comprimento de arco em forma de integral definida:
L = integral1^8 raiz1 + 1681x^-23 , dx
Para obter um valor numérico, precisaríamos usar técnicas de integração numérica ou uma calculadora avançada.

Resposta

O comprimento do arco entre L = integral1^8 raiz1 + 1681x^-23 , dx e na gráfica da equação é dado pela integral:
Para um valor numérico preciso, recomenda-se calcular essa integral usando métodos numéricos.

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