Calcule la longitud de arco entre y de la gráfica de la ecuación (use la definición 4):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a comprimento do arco entre os pontos e na gráfica de uma equação específica. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais exatamente ao estudo de comprimentos de curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco que envolve integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva entre e :
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços do arco da curva, considerando a inclinação em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte a) do exercício:
Primeiro, precisamos expressar em função de para facilitar a aplicação da fórmula. Vamos isolar :

Passo 4

Com , vamos calcular a derivada :

Passo 5

Vamos agora substituir na fórmula do comprimento de arco:

Passo 6

Para simplificar a integral, vamos fatorar:
Infelizmente, essa integral não tem uma solução elementar simples, então podemos aproximar numericamente ou deixar a resposta em termos de integral definida.

Passo 7

Vamos deixar a expressão do comprimento de arco em forma de integral definida:
Para obter um valor numérico, precisaríamos usar técnicas de integração numérica ou uma calculadora avançada.

Resposta

O comprimento do arco entre e na gráfica da equação é dado pela integral:
Para um valor numérico preciso, recomenda-se calcular essa integral usando métodos numéricos.

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