Calcule m em cada caso, usando a informação dada sobre as retas r:l x-m y+1=0 y-z-1=0 s: x=ym=z t:l x+y-z=0 y+z+1=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três retas, chamadas de , e , definidas por sistemas de equações. Nosso objetivo é calcular o valor de usando as informações fornecidas sobre essas retas. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de retas no espaço tridimensional e resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta x - m y + 1 = 0 y - z - 1 = 0 . Ela é definida pelo sistema:
x = m y - 1
Podemos reescrever essas equações para expressar z = y - 1 e em termos de :
Isso nos dá uma parametrização da reta em termos de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a reta x = ym = z , que é dada de forma paramétrica:
x = ym
Isso significa que todas as coordenadas z = ym , e da reta estão relacionadas por e . Podemos parametrizar essa reta em termos de :

Passo 4

A reta x + y - z = 0 y + z + 1 = 0 é definida pelo seguinte sistema de equações:
y + z + 1 = 0 implies z = -y - 1
Vamos resolver esse sistema para expressar x + y - (-y - 1) = 0 implies x + y + y + 1 = 0 implies x = -2y -1 e x = -2y -1 em termos de z = -y -1 .
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, a parametrização da reta é:

Passo 5

Para encontrar o valor de m y - 1 = ym implies m^2 y - m = y implies y(m^2 - 1) = m implies y = mm^2 - 1 , precisamos que as retas m y - 1 = -2y -1 implies m y = -2y implies y(m + 2) = 0 , e tenham um ponto em comum, ou seja, que existam valores de que satisfaçam todas as parametrizações simultaneamente.
Igualando as parametrizações de e :
Igualando as parametrizações de e :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1: x = m(0) - 1 = -1
Substituindo z = 0 - 1 = -1 na parametrização de x = 0m = 0 neq -1 implies Incompatível :
Então, o ponto de interseção seria . Verificando na reta :
í
Portanto, não é uma solução válida.
Caso 2:

Passo 7

Vamos verificar se y = -2(-2)^2 -1 = -24 -1 = -23 satisfaz todas as condições.
Substituindo x = -2 (-23) -1 = 43 -1 = 13 na expressão para z = -23 -1 = -53 :
x = -2(-23) -1 = 43 -1 = 13
Agora, calculamos z = -(-23) -1 = 23 -1 = -13 e z = -(-23) -1 = 23 -1 = -13 na reta -53 neq -13 :
Então, o ponto de interseção seria .
Verificando na reta :
Notamos que não coincide, indicando que há um erro na verificação. Vamos corrigir.
Substituindo em :
Comparando com o da reta :
Isso significa que não h�� interseção quando .

Resposta

Não há valor de que satisfaça as condições dadas para as retas , e terem um ponto em comum.

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