Calcule
em cada caso, usando a informação dada sobre as retas
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três retas, chamadas de
,
e
, definidas por sistemas de equações. Nosso objetivo é calcular o valor de
usando as informações fornecidas sobre essas retas. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de retas no espaço tridimensional e resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta
. Ela é definida pelo sistema:
Podemos reescrever essas equações para expressar
e
em termos de
:
Isso nos dá uma parametrização da reta
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a reta
, que é dada de forma paramétrica:
Isso significa que todas as coordenadas
,
e
da reta
estão relacionadas por
e
. Podemos parametrizar essa reta em termos de
:
Passo 4
A reta
é definida pelo seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar
e
em termos de
.
Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então, a parametrização da reta
é:
Passo 5
Para encontrar o valor de
, precisamos que as retas
,
e
tenham um ponto em comum, ou seja, que existam valores de
que satisfaçam todas as parametrizações simultaneamente.
Igualando as parametrizações de
e
:
Igualando as parametrizações de
e
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo
na parametrização de
:
Então, o ponto de interseção seria
. Verificando na reta
:
Portanto,
não é uma solução válida.
Caso 2:
Passo 7
Vamos verificar se
satisfaz todas as condições.
Substituindo
na expressão para
:
Agora, calculamos
e
na reta
:
Então, o ponto de interseção seria
.
Verificando na reta
:
Notamos que
não coincide, indicando que há um erro na verificação. Vamos corrigir.
Substituindo
em
:
Comparando com o
da reta
:
Isso significa que não h�� interseção quando
.
Resposta
Não há valor de
que satisfaça as condições dadas para as retas
,
e
terem um ponto em comum.