Um dipolo elétrico de módulo
gira no plano xy com velocidade angular constante
. Um observador situado no plano xz observa a radiação emitida numa direção que faz um ângulo
com o eixo
. Determine a expressão da potência média total emitida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um dipolo elétrico com módulo
que está girando no plano xy com uma velocidade angular constante
. Um observador no plano xz está vendo a radiação emitida numa direção que forma um ângulo
com o eixo z. A missão aqui é descobrir qual é a expressão da potência média total que esse dipolo está emitindo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de eletrodinâmica, especialmente sobre como dipolos elétricos irradiam energia quando estão em movimento acelerado. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo elétrico é basicamente duas cargas elétricas iguais e opostas separadas por uma distância. Aqui, o dipolo está girando no plano xy, o que significa que o vetor momento dipolar
está mudando de direção continuamente, mesmo com módulo constante.
Como o dipolo está girando com velocidade angular
, podemos expressar o momento dipolar como função do tempo:
Isso mostra que o dipolo está fazendo um movimento circular no plano xy.
Passo 3
Agora, precisamos considerar a aceleração do dipolo, já que a radiação eletromagnética é emitida por partículas carregadas em aceleração. A aceleração aqui está relacionada à segunda derivada do momento dipolar em relação ao tempo.
Vamos derivar
duas vezes para encontrar a aceleração:
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Então, a aceleração do dipolo é proporcional ao próprio momento dipolar, mas com sinal negativo e multiplicada por
.
Passo 4
Para encontrar a potência radiada por um dipolo acelerado, usamos a fórmula da potência instantânea irradiada por um dipolo elétrico acelerado:
Aqui,
é a segunda derivada do momento dipolar em relação ao tempo (a aceleração),
é o ângulo entre a direção da observação e o eixo z,
é a permissividade do vácuo, e
é a velocidade da luz.
Substituindo a aceleração que encontramos:
Portanto:
Passo 5
Agora, para encontrar a potência média total emitida pelo dipolo, precisamos considerar a potência irradiada em todas as direções possíveis e fazer uma média sobre o ângulo
.
Como a potência depende de
, vamos integrar essa expressão sobre todo o espaço esférico e dividir pela área total da esfera para obter a média.
A média de
em uma esfera é
. Portanto:
Resposta
A potência média total emitida pelo dipolo é dada por
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Calcule
em cada caso, usando a informação dada sobre as retas
Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano.
Calcule
para que
a) re s sejam paralelas;
b) r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
c) re t sejam concorrentes;
d) s e t sejam coplanares;
e) re s sejam reversas.
São dadas
a) re s sejam paralelas;
b) r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
c) re t sejam concorrentes;
d) s e t sejam coplanares;
e) re s sejam reversas.
São dadas
Obter as equações reduzidas na variável
, da reta pelos pontos
e