Um dipolo elétrico de módulo |p| gira no plano xy com velocidade angular constante omega. Um observador situado no plano xz observa a radiação emitida numa direção que faz um ângulo theta com o eixo z. Determine a expressão da potência média total emitida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um dipolo elétrico com módulo que está girando no plano xy com uma velocidade angular constante . Um observador no plano xz está vendo a radiação emitida numa direção que forma um ângulo com o eixo z. A missão aqui é descobrir qual é a expressão da potência média total que esse dipolo está emitindo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de eletrodinâmica, especialmente sobre como dipolos elétricos irradiam energia quando estão em movimento acelerado. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo elétrico é basicamente duas cargas elétricas iguais e opostas separadas por uma distância. Aqui, o dipolo está girando no plano xy, o que significa que o vetor momento dipolar p(t) = |p| (cos(omega t) i + sin(omega t) j) está mudando de direção continuamente, mesmo com módulo constante.
Como o dipolo está girando com velocidade angular , podemos expressar o momento dipolar como função do tempo:
Isso mostra que o dipolo está fazendo um movimento circular no plano xy.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a aceleração do dipolo, já que a radiação eletromagnética é emitida por partículas carregadas em aceleração. A aceleração aqui está relacionada à segunda derivada do momento dipolar em relação ao tempo.
Vamos derivar dpdt = -|p| omega sin(omega t) i + |p| omega cos(omega t) j duas vezes para encontrar a aceleração:
Primeira derivada (velocidade):
d^2pdt^2 = -|p| omega^2 cos(omega t) i - |p| omega^2 sin(omega t) j = -omega^2 p(t)
Segunda derivada (aceleração):
Então, a aceleração do dipolo é proporcional ao próprio momento dipolar, mas com sinal negativo e multiplicada por .

Passo 4

Para encontrar a potência radiada por um dipolo acelerado, usamos a fórmula da potência instantânea irradiada por um dipolo elétrico acelerado:
P(theta) = |ddotp|^2 sin^2(theta)6pi varepsilon0 c^3
Aqui, |ddotp| = omega^2 |p| é a segunda derivada do momento dipolar em relação ao tempo (a aceleração), P(theta) = (omega^2 |p|)^2 sin^2(theta)6pi varepsilon0 c^3 = omega^4 |p|^2 sin^2(theta)6pi varepsilon0 c^3 é o ângulo entre a direção da observação e o eixo z, é a permissividade do vácuo, e é a velocidade da luz.
Substituindo a aceleração que encontramos:
Portanto:

Passo 5

Agora, para encontrar a potência média total emitida pelo dipolo, precisamos considerar a potência irradiada em todas as direções possíveis e fazer uma média sobre o ângulo Pmédia = omega^4 |p|^26pi varepsilon0 c^3 times 23 = omega^4 |p|^29pi varepsilon0 c^3 .
Como a potência depende de , vamos integrar essa expressão sobre todo o espaço esférico e dividir pela área total da esfera para obter a média.
A média de em uma esfera é . Portanto:
é

Resposta

A potência média total emitida pelo dipolo é dada por
Pmédia = omega^4 |p|^29pi varepsilon0 c^3 é

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