Obtenha uma equação geral do plano
pi:l x=1+lambda-mu y=2 lambda+mu z=3-mu

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação geral de um plano, dado por um sistema paramétrico com as variáveis lambda e mu. Vamos precisar saber como transformar essas equações paramétricas em uma equação geral do plano utilizando vetores e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto no plano. Olhando para as equações paramétricas:
pi:l x=1+lambda-mu y=2 lambda+mu z=3-mu
Quando lambda = 0 e mu = 0, temos o ponto P(1, 0, 3).

Passo 3

Agora, vamos identificar dois vetores diretores do plano. Eles são obtidos pelas coeficientes de lambda e mu nas equações paramétricas.
Para lambda:
u = 1 2 0
Para mu:
v = -1 1 -1

Passo 4

Com os dois vetores diretores, podemos encontrar o vetor normal ao plano usando o produto vetorial n = u times v.
Calculando:
n = i & j & k 1 & 2 & 0 -1 & 1 & -1 = i(2 cdot (-1) - 0 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) + k(1 cdot 1 - 2 cdot (-1))
n = -2 1 3

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n = (-2, 1, 3) e um ponto P(1, 0, 3) no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto no plano.
Substituindo:
-2(x - 1) + 1(y - 0) + 3(z - 3) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
-2x + 2 + y + 3z - 9 = 0
-2x + y + 3z - 7 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
-2x + y + 3z - 7 = 0

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