Calcule m in R para que
a) re s sejam paralelas;
b) r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano;
c) re t sejam concorrentes;
d) s e t sejam coplanares;
e) re s sejam reversas.
São dadas
r:lx=my-1 z=y-1 s: x=ym=z t:-x+z=y=-z-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria no espaço onde precisamos encontrar o valor de que faz algumas condições entre as retas , e serem verdadeiras. A matéria envolve conceitos de retas no espaço, como paralelismo, coplanaridade e concorrência. Para resolver, vamos precisar entender como representar retas no espaço e aplicar essas condições matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão dadas as retas:
  • Reta r: x = m y - 1 z = y - 1 :
    s: x = ym x = z
  • Reta t: -x + z = y y = -z - 1 :
  • Reta :
Vamos reescrever essas equações na forma paramétrica para facilitar a comparação e aplicação das condições.

Passo 3

Converter as retas para forma paramétrica:
  • Reta x = m t - 1 y = t z = t - 1 :
    Vamos usar r: x = -1 + m t y = t z = -1 + t como parâmetro.
    x = sm y = s z = sm
    Então, a forma paramétrica é:
    s: x = 0 + 1m s y = 0 + s z = 0 + 1m s
  • Reta -x + z = -z -1 -x = -2z -1 x = 2z + 1 :
    Vamos usar x = 1 + 2u y = -u -1 z = u como parâmetro.
    t: x = 1 + 2u y = -1 - u z = u
    Forma paramétrica:
  • Reta :
    Vamos resolver as equações para encontrar uma expressão paramétrica. Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
    Vamos usar como parâmetro.
    Forma paramétrica:

Passo 4

a) Calcular vr = k vs para que m = k cdot 1m 1 = k cdot 1 1 = k cdot 1m e m = 1m Rightarrow m^2 = 1 Rightarrow m = pm 1 sejam paralelas:
Duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem proporcionais. Vamos identificar os vetores diretores de e :
  • Vetor diretor de :
  • Vetor diretor de :
Para serem paralelas, deve existir um escalar tal que:
Isso dá as equações:
Da segunda equação, . Substituindo nas demais:
Resposta para a) ou

Passo 5

b) Calcular vr = (m, 1, 1) vs = (1m, 1, 1m) vt = (2, -1, 1) para que m & 1 & 1 1m & 1 & 1m 2 & -1 & 1 = 0 , m cdot 1 & 1m -1 & 1 - 1 cdot 1m & 1m 2 & 1 + 1 cdot 1m & 1 2 & -1 = 0 e m cdot (1 cdot 1 - 1m cdot (-1)) - 1 cdot (1m cdot 1 - 1m cdot 2) + 1 cdot (1m cdot (-1) - 1 cdot 2) = 0 sejam paralelas a um mesmo plano:
Para que três retas sejam paralelas a um mesmo plano, os vetores diretores das retas devem ser coplanários, ou seja, o determinante formado por esses vetores deve ser zero.
Vetores diretores:
m (1 + 1m) - (1m - 2m) + (-1m - 2) = 0
Calculamos o determinante:
m + 1 - (-1m) - 1m - 2 = 0
Expandindo o determinante:
m + 1 + 1m - 1m - 2 = 0 Rightarrow m -1 =0 Rightarrow m=1
Resposta para b)

Passo 6

c) Calcular x = -1 + m t y = t z = -1 + t para que x = sm y = s z = sm , x = 1 + 2u y = -1 - u z = u e -1 + m t = sm t = s -1 + t = sm sejam concorrentes:
Três retas são concorrentes se possuem um ponto comum. Precisamos encontrar se existe um ponto que pertence a todas as três retas simultaneamente.
Vamos igualar as equações paramétricas:
Da reta -1 + t = tm Rightarrow -1 = tm - t = t (1m -1) :
t = -11m -1 = -m1 - m
Da reta -1 + m t = 1 + 2u t = -1 - u -1 + t = u :
-1 + m(-1 - u) = 1 + 2u -1 - m - m u =1 +2u -m u -2u = 1 + m +1 u(-m -2) = m +2 u = m +2-m -2 = -1
Da reta t = -1 - (-1) = 0 :
x = -1 + m cdot 0 = -1 y = 0 z = -1 + 0 = -1
Igualando x = 1 + 2(-1) = -1 y = -1 - (-1) = 0 z = -1 e :
Como , substituímos na terceira equação:
Agora, igualamos com a reta :
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
E então:
Verificando na reta :
Consistência encontrada! Portanto, para qualquer , as retas , e se encontram no ponto .
Resposta para c) Qualquer satisfaz a condição.

Passo 7

d) Calcular vs = (1m, 1, 1m) vt = (2, -1,1) para que 1m = k cdot 2 1 = k cdot (-1) 1m = k cdot 1 e 1m = -2 Rightarrow m = -12 sejam coplanares:
Duas retas são coplanares se elas são paralelas ou se elas se intersectam. Vamos verificar as condições.
Primeiro, vamos ver se são paralelas. Vetores diretores:
1m = -1 Rightarrow m = -1
Para serem paralelas:
x = sm y = s z = sm
Da segunda equação, x = 1 + 2u y = -1 - u z = u . Substituindo nas outras:
sm = 1 + 2u s = -1 - u sm = u
-1 - um = 1 + 2u -1 - u = m (1 + 2u) -1 - u = m + 2m u
Como -1 - m = u (2m +1) não pode ser simultaneamente u = -1 - m2m +1 e -1 - um = u , as retas não são paralelas para nenhum -1 - (-1 - m2m +1)m = -1 - m2m +1 .
Agora, verificamos se elas se intersectam. Igualamos as equações paramétricas de -1 + 1 + m2m +1m = -1 - m2m +1 e -(2m +1) +1 +mm(2m +1) = -1 - m2m +1 :
Da reta -2m -1 +1 +m m(2m +1) = -1 - m2m +1 :
-m m(2m +1) = -1 - m2m +1
Da reta -1 2m +1 = -1 - m2m +1 :
-1 = -1 -m Rightarrow m =0
Igualando:
Substituindo na primeira equação:
Rearranjando:
Substituindo na terceira equação:
Substituindo :
Simplificando:
Comparando os numeradores:
Verificando nas equações originais, vemos que quando , a reta não está bem definida (divisão por zero). Portanto, não há solução válida.
Resposta para d) Não existe que satisfaz a condição.

Passo 8

e) Calcular x = -1 + m t y = t z = -1 + t para que x = sm y = s z = sm e -1 + m t = sm t = s -1 + t = sm sejam reversas:
Duas retas são reversas (ou skew) se não são paralelas e não se interceptam. Já vimos na parte a) que para -1 + t = tm -1 = tm - t = t (1m -1) t = -11m -1 = -m1 - m ou , as retas são paralelas. Portanto, para que sejam reversas, deve ser diferente de e e as retas não devem se intersectar.
Vamos verificar as interseções para .
Igualando as equações paramétricas de e :
Da reta :
Da reta :
Igualando:
Como , substituindo na terceira equação:
Existe uma solução para , então as retas se interceptam quando . Porém, para serem reversas, elas não devem se interceptar, o que só ocorre se não houver solução, mas visto que para sempre há interseção, não existem valores de que façam as retas serem reversas.
Resposta para e) Não existe que faça e serem reversas.

Resposta

a) ou
b)
c) Qualquer
d) Não existe que satisfaz a condição
e) Não existe que faça e serem reversas

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