Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de um plano, que é . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e equações paramétricas.
Passo 2
Equações paramétricas descrevem os pontos de um plano em função de dois parâmetros, geralmente chamados e . Para encontrar essas equações, precisamos identificar um ponto que pertence ao plano e dois vetores que sejam paralelos a ele.
Passo 3
Vamos encontrar um ponto no plano definido por . Podemos escolher valores arbitrários para duas das coordenadas e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos e , substituindo na equação temos:
Então, um ponto no plano é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Para isso, vamos encontrar mais dois pontos no plano e subtrair pelo ponto que já temos para obter os vetores.
Primeiro vetor:
Escolha e . Substituindo na equação:
O ponto é . O vetor resultante é .
Segundo vetor:
Escolha e . Substituindo na equação:
O ponto é . O vetor resultante é .
Passo 5
Com o ponto e os vetores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas são dadas por:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto no plano e (a, c, e) e (b, d, f) são os vetores paralelos.
Substituindo os valores encontrados:
x = 0 + 1 cdot u + 0 cdot v = u y = 2 + 0 cdot u + 1 cdot v = 2 + v z = 0 + 0 cdot u + 1 cdot v = v