Um oscilador linearmente amortecido possui um fator Q igual a 20. (a) Qual é a fração de redução de energia, em cada ciclo?
O fator de qualidade de um oscilador amortecido é dado por
Q=omega0 tau
. Como vimos, para um oscilador sub-amortecido a energia pode ser escrita como
E=E0 e^-t / gamma
onde
E0=12 m omega^2 A0^2 gamma=rho / m

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um oscilador linearmente amortecido que tem um fator de qualidade Q igual a 20. Nosso objetivo é encontrar a fração de redução de energia em cada ciclo. Para isso, vamos precisar entender como o fator Q está relacionado com a perda de energia do sistema durante as oscilações.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que o fator de qualidade Q de um oscilador é dado pela fórmula:
Q = omega0 tau
Aqui, omega0 é a frequência angular natural do oscilador, e tau é o tempo de decadência, que indica o tempo característico para a energia do sistema diminuir.

Passo 3

Sabemos que para um oscilador sub-amortecido (quando o amortecimento não é forte o suficiente para evitar oscilações), a energia E do sistema ao longo do tempo é dada por:
E = E0 e^-t / gamma
Onde:
  • E0 é a energia inicial,
  • gamma é uma constante relacionada ao amortecimento.

Passo 4

A constante gamma está relacionada com a massa m do oscilador e o parâmetro rho (que representa o amortecimento) pela relação:
gamma = rhom
Isso significa que gamma depende de quão forte é o amortecimento e da massa do sistema.

Passo 5

Para encontrar a fração de redução de energia por ciclo, vamos considerar que um ciclo leva um tempo equivalente ao período T das oscilações. O período T está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
T = 2piomega0
Então, o tempo de um ciclo é T = 2piomega0.

Passo 6

Substituindo o tempo de um ciclo na expressão da energia, temos:
E = E0 e^-T / gamma
Queremos encontrar a fração de energia que restou após um ciclo, então vamos calcular:
EE0 = e^-T / gamma

Passo 7

Agora, substituímos T e a expressão de Q na equação. Sabemos que Q = omega0 tau, e como tau = m / rho = gamma, temos:
Q = omega0 gamma
Portanto, gamma = Qomega0.

Passo 8

Substituindo gamma na fração de energia:
EE0 = e^-T / (Qomega0) = e^-omega0 TQ
Como T = 2piomega0, substituímos:
EE0 = e^-omega0 cdot 2piomega0Q = e^-2piQ

Passo 9

Agora, substituímos o valor de Q = 20:
EE0 = e^-2pi20 = e^-pi10
Calculando numericamente:
EE0 approx e^-0.314 approx 0.730

Passo 10

A fração de redução de energia em cada ciclo é a diferença entre a energia inicial e a energia após um ciclo, dividida pela energia inicial:
Fração de redução = 1 - EE0 approx 1 - 0.730 = 0.270 çãçã

Resposta

A fração de redução de energia em cada ciclo é de aproximadamente 27,0%.

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