Um oscilador linearmente amortecido possui um fator
igual a 20. (a) Qual é a fração de redução de energia, em cada ciclo?
O fator de qualidade de um oscilador amortecido é dado por
. Como vimos, para um oscilador sub-amortecido a energia pode ser escrita como
onde
O fator de qualidade de um oscilador amortecido é dado por
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre um oscilador linearmente amortecido que tem um fator de qualidade
igual a 20. Nosso objetivo é encontrar a fração de redução de energia em cada ciclo. Para isso, vamos precisar entender como o fator
está relacionado com a perda de energia do sistema durante as oscilações.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que o fator de qualidade
de um oscilador é dado pela fórmula:
Aqui,
é a frequência angular natural do oscilador, e
é o tempo de decadência, que indica o tempo característico para a energia do sistema diminuir.
Passo 3
Sabemos que para um oscilador sub-amortecido (quando o amortecimento não é forte o suficiente para evitar oscilações), a energia
do sistema ao longo do tempo é dada por:
Onde:
-
é a energia inicial, -
é uma constante relacionada ao amortecimento.
Passo 4
A constante
está relacionada com a massa
do oscilador e o parâmetro
(que representa o amortecimento) pela relação:
Isso significa que
depende de quão forte é o amortecimento e da massa do sistema.
Passo 5
Para encontrar a fração de redução de energia por ciclo, vamos considerar que um ciclo leva um tempo equivalente ao período
das oscilações. O período
está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
Então, o tempo de um ciclo é
.
Passo 6
Substituindo o tempo de um ciclo na expressão da energia, temos:
Queremos encontrar a fração de energia que restou após um ciclo, então vamos calcular:
Passo 7
Agora, substituímos
e a expressão de
na equação. Sabemos que
, e como
, temos:
Portanto,
.
Passo 8
Substituindo
na fração de energia:
Como
, substituímos:
Passo 9
Agora, substituímos o valor de
:
Calculando numericamente:
Passo 10
A fração de redução de energia em cada ciclo é a diferença entre a energia inicial e a energia após um ciclo, dividida pela energia inicial:
Resposta
A fração de redução de energia em cada ciclo é de aproximadamente 27,0%.