QUESTÃO 4b - Dados e , determine os pontos em que a reta corta os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para a gente descobrir onde a reta que liga esses dois pontos, chamada de reta , corta os planos , e . Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especialmente a equação paramétrica da reta e as equações dos planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação paramétrica da reta . Uma reta no espaço pode ser representada por:
onde é um ponto na reta (vamos usar o ponto ) e são as direções da reta, que encontramos subtraindo as coordenadas de e .
Calculando as direções:
Então, a equação paramétrica da reta fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essa reta corta o plano . O plano é aquele onde a coordenada .
Então, vamos igualar a zero na equação paramétrica e resolver para :
Substituindo nas equações de e :
Portanto, o ponto de interseção com é .
Passo 4
Vamos repetir o processo para o plano , que é onde .
Igualando a zero:
Substituindo nas equações de e :
Assim, o ponto de interseção com é .
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar a interseção com o plano , onde .
Igualando a zero:
Substituindo nas equações de e :
Portanto, o ponto de interseção com é .
Resposta
A reta corta os planos coordenados nos seguintes pontos: