QUESTÃO 4b - Dados A=(1,2,3) e B=(4,5,6), determine os pontos em que a reta A B corta os planos pix y, pix z e piy z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois pontos no espaço, e , e pede para a gente descobrir onde a reta que liga esses dois pontos, chamada de reta , corta os planos , e . Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especialmente a equação paramétrica da reta e as equações dos planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação paramétrica da reta x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct . Uma reta no espaço pode ser representada por:
a = 4 - 1 = 3 b = 5 - 2 = 3 c = 6 - 3 = 3
onde x = 1 + 3t y = 2 + 3t z = 3 + 3t é um ponto na reta (vamos usar o ponto ) e são as direções da reta, que encontramos subtraindo as coordenadas de e .
Calculando as direções:
Então, a equação paramétrica da reta fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essa reta corta o plano 3 + 3t = 0 3t = -3 t = -1 . O plano x = 1 + 3(-1) = -2 y = 2 + 3(-1) = -1 é aquele onde a coordenada .
Então, vamos igualar a zero na equação paramétrica e resolver para :
Substituindo nas equações de e :
Portanto, o ponto de interseção com é .

Passo 4

Vamos repetir o processo para o plano 2 + 3t = 0 3t = -2 t = -23 , que é onde x = 1 + 3(-23) = 1 - 2 = -1 z = 3 + 3(-23) = 3 - 2 = 1 .
Igualando a zero:
Substituindo nas equações de e :
Assim, o ponto de interseção com é .

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a interseção com o plano 1 + 3t = 0 3t = -1 t = -13 , onde y = 2 + 3(-13) = 2 - 1 = 1 z = 3 + 3(-13) = 3 - 1 = 2 .
Igualando a zero:
Substituindo nas equações de e :
Portanto, o ponto de interseção com é .

Resposta

A reta corta os planos coordenados nos seguintes pontos:
  • Plano :
  • Plano :
  • Plano :

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