Calcule a projeção ortogonal de sobre e o ângulo do vetor projeção ortogonal faz com o vetor .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor . Além disso, queremos encontrar o ângulo que essa projeção faz com o vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando a projeção ortogonal de sobre . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, é o produto escalar de e , e é o módulo (ou comprimento) do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de :
Então, .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Interessante! A projeção de sobre resultou no próprio vetor .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção e o vetor . A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 8

Agora, calculamos os módulos dos vetores:

Passo 9

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Resposta

A projeção ortogonal de sobre é , e o ângulo que essa projeção faz com o vetor é aproximadamente .

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