Calcule a projeção ortogonal de sobre e o ângulo do vetor projeção ortogonal faz com o vetor .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor . Além disso, queremos encontrar o ângulo que essa projeção faz com o vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Vamos começar calculando a projeção ortogonal de sobre . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, é o produto escalar de e , e é o módulo (ou comprimento) do vetor .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de :
Então, .
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Interessante! A projeção de sobre resultou no próprio vetor .
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção e o vetor . A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Passo 8
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 9
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:
Resposta
A projeção ortogonal de sobre é , e o ângulo que essa projeção faz com o vetor é aproximadamente .