Calcule a projeção ortogonal de barv=(0,1,2) sobre baru=(0,-1,-2) e o ângulo do vetor projeção ortogonal faz com o vetor bari+bark.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a projeção ortogonal do vetor barv = (0,1,2) sobre o vetor baru = (0,-1,-2). Além disso, queremos encontrar o ângulo que essa projeção faz com o vetor bari + bark = (1,0,1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando a projeção ortogonal de barv sobre baru. A fórmula para a projeção de barv em baru é:
projbaru barv = ( barv cdot baru|baru|^2 ) baru
Aqui, barv cdot baru é o produto escalar de barv e baru, e |baru| é o módulo (ou comprimento) do vetor baru.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar barv cdot baru:
barv cdot baru = (0)(0) + (1)(-1) + (2)(-2) = 0 - 1 - 4 = -5

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de baru:
|baru| = raiz0^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5
Então, |baru|^2 = (raiz5)^2 = 5.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
projbaru barv = ( -55 ) baru = -1 cdot (0,-1,-2) = (0,1,2)
Interessante! A projeção de barv sobre baru resultou no próprio vetor barv.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção projbaru barv = (0,1,2) e o vetor bari + bark = (1,0,1). A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores bara e barb é:
cos theta = bara cdot barb|bara| |barb|

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto escalar bara cdot barb:
(0,1,2) cdot (1,0,1) = (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 0 + 0 + 2 = 2

Passo 8

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|bara| = raiz0^2 + 1^2 + 2^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5
|barb| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 9

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 2raiz5 cdot raiz2 = 2raiz10
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1 ( 2raiz10 ) approx 26.57^circ

Resposta

A projeção ortogonal de barv = (0,1,2) sobre baru = (0,-1,-2) é projbaru barv = (0,1,2), e o ângulo que essa projeção faz com o vetor bari + bark é aproximadamente 26.57^circ.

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