Calcule a projeção ortogonal de
sobre
e o ângulo do vetor projeção ortogonal faz com o vetor
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
. Além disso, queremos encontrar o ângulo que essa projeção faz com o vetor
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Vamos começar calculando a projeção ortogonal de
sobre
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui,
é o produto escalar de
e
, e
é o módulo (ou comprimento) do vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de
:
Então,
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Interessante! A projeção de
sobre
resultou no próprio vetor
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo entre a projeção
e o vetor
. A fórmula para o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 9
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é
, e o ângulo que essa projeção faz com o vetor
é aproximadamente
.