Calcule m e n nos casos abaixo, sabendo que u e v não são paralelos.
(m+n) u+(m-n) v=2 v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e na equação , onde os vetores e não são paralelos. Isso está no campo da Álgebra Linear, especialmente lidando com combinações lineares de vetores. Para resolver isso, vamos comparar os coeficientes dos vetores e de cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os coeficientes de cada vetor:
(m + n) u + (m - n) v = 0 u + 2 v
Aqui, do lado esquerdo temos e , e do lado direito, .

Passo 3

Agora, como m + n = 0 e m - n = 2 não são paralelos, eles são vetores independentes. Isso significa que os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação para que ela seja verdadeira. Então, podemos igualar os coeficientes correspondentes:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. (m + n) + (m - n) = 0 + 2 2m = 2 m = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 5

Com o valor de 1 + n = 0 n = -1 encontrado, vamos substituir de volta na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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