Sejam E uma base ortonormal, u=(0,1,2)E e v=(-2,4,-6)E. Calcule
|-u+12 v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra vetorial. A questão fala sobre duas vetores, u e v, que estão em uma base ortonormal E. O que a gente precisa fazer é calcular o comprimento (ou norma) do vetor resultante de -u + 12 v. Pra resolver isso, vamos precisar saber como somar vetores, multiplicar vetores por escalares e calcular a norma de um vetor usando essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular -u. Multiplicar um vetor por -1 simplesmente inverte cada uma das suas componentes. Então, se u = (0, 1, 2)E, temos:
-u = -1 cdot (0, 1, 2) = (0, -1, -2)

Passo 3

Agora, vamos calcular 12 v. Multiplicar um vetor por 12 significa multiplicar cada componente por esse número. Dado que v = (-2, 4, -6)E, fica:
12 v = 12 cdot (-2, 4, -6) = (-1, 2, -3)

Passo 4

Agora, vamos somar os dois vetores que encontramos: -u e 12 v. A soma de vetores é feita somando componente por componente:
-u + 12 v = (0, -1, -2) + (-1, 2, -3) = (0 + (-1), -1 + 2, -2 + (-3)) = (-1, 1, -5)

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a norma do vetor resultante (-1, 1, -5). A norma de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
| -u + 12 v | = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz1 + 1 + 25 = raiz27 = 3raiz3

Resposta

A norma de -u + 12 v é 3raiz3.

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