Para que valores de os vetores e formam base em cada um dos casos. e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos descobrir para quais valores de os vetores , e formam uma base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e determinantes. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que, em espaços tridimensionais, pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por eles e garantindo que ele seja diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos simplificados:
Passo 6
Hmm, parece que o determinante resultou em zero para qualquer valor de . Isso significa que, independentemente do valor de , os vetores , e são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base para nenhum valor de .
Resposta
Não existe valor de que faça os vetores , e formarem uma base.