Para que valores de os vetores e formam base em cada um dos casos.
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos descobrir para quais valores de os vetores , e formam uma base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e determinantes. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que, em espaços tridimensionais, pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por eles e garantindo que ele seja diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos simplificados:

Passo 6

Hmm, parece que o determinante resultou em zero para qualquer valor de . Isso significa que, independentemente do valor de , os vetores , e são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base para nenhum valor de .

Resposta

Não existe valor de que faça os vetores , e formarem uma base.

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Calcule e nos casos abaixo, sabendo que e não são paralelos.
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Sejam uma base ortonormal, e . Calcule
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