Para que valores de a os vetores f1, f2 e f3 formam base em cada um dos casos.
f1=(a, a, 1)E, f2=(3,1,-1)E e f3=(2 a-3,2 a-1,3)E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde precisamos descobrir para quais valores de os vetores , e formam uma base. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear e determinantes. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que, em espaços tridimensionais, pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por eles e garantindo que ele seja diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
A = a & 3 & 2a - 3 a & 1 & 2a - 1 1 & -1 & 3

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det(A) = a cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (2a - 1)) - 3 cdot (a cdot 3 - 1 cdot (2a - 1)) + (2a - 3) cdot (a cdot (-1) - 1 cdot 1) pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo passo a passo:
  1. Primeiro termo:
a cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (2a - 1)) = a cdot (3 + 2a - 1) = a cdot (2a + 2) = 2a^2 + 2a
  1. Segundo termo:
-3 cdot (a cdot 3 - 1 cdot (2a - 1)) = -3 cdot (3a - 2a + 1) = -3 cdot (a + 1) = -3a - 3
  1. Terceiro termo:
(2a - 3) cdot (a cdot (-1) - 1 cdot 1) = (2a - 3) cdot (-a - 1) = - (2a - 3)(a + 1) = - (2a^2 + 2a - 3a - 3) = - (2a^2 - a - 3) = -2a^2 + a + 3

Passo 5

Agora, somamos todos os termos simplificados:
2a^2 + 2a - 3a - 3 - 2a^2 + a + 3 = (2a^2 - 2a^2) + (2a - 3a + a) + (-3 + 3) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 6

Hmm, parece que o determinante resultou em zero para qualquer valor de . Isso significa que, independentemente do valor de , os vetores , e são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base para nenhum valor de .

Resposta

Não existe valor de que faça os vetores , e formarem uma base.

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