Calcule m, n in R para que a reta r: X=(n, 2,0)+lambda(2, m, m) esteja contida no plano pi: x-3 y+z=1.

Passo 1

Estamos querendo encontrar os valores de e para que a reta esteja totalmente dentro do plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a condição de que todos os pontos da reta devem satisfazer a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as coordenadas de um ponto qualquer da reta em termos do parâmetro x = n + 2lambda y = 2 + mlambda z = 0 + mlambda :
(n + 2lambda) - 3(2 + mlambda) + (mlambda) = 1
Agora, substituímos essas expressões na equação do plano:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
n + 2lambda - 6 - 3mlambda + mlambda = 1
Juntando os termos semelhantes:
n - 6 + (2lambda - 2mlambda) = 1
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de 2 - 2m = 0 n - 6 = 1 , os coeficientes de 2 - 2m = 0 implies m = 1 e os termos constantes devem ser iguais separadamente. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
n - 6 = 1 implies n = 7
Resolvendo a primeira equação para :
E resolvendo a segunda equação para :

Resposta

Os valores são e .

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