DEMONSTRE que: o fluxo magnético através da bobina é dado pela expressão:
, com
, em que
representa o módulo do campo magnético na região da bobina em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o fluxo magnético através de uma bobina é dado por
, onde
é definido como
. Então, o conteúdo aqui envolve fluxo magnético, campos magnéticos e um pouco de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético e aplicar algumas propriedades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo magnético. O fluxo magnético
através de uma superfície é dado pela integral do produto do campo magnético
pela área
dessa superfície, ou seja:
No caso de uma bobina, imaginamos que o campo magnético está passando perpendicularmente à área da bobina.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o campo magnético
na região da bobina depende do tempo e da posição radial
. No instante
, esse campo é dado por
. Então, podemos escrever o campo magnético em qualquer tempo
como:
Aqui,
é a frequência angular do campo magnético.
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de
na fórmula do fluxo magnético:
Como o campo está perpendicular à área da bobina, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Em coordenadas polares, a área diferencial
de um anel com raio
e espessura
é:
Então, a integral fica:
Essa integral é exatamente a definição de
:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão do fluxo magnético, temos:
Mas o enunciado pede
. Isso sugere que há uma relação adicional que envolve o quadrado do cosseno. Pode ser que a energia ou outra propriedade esteja relacionada ao quadrado do fluxo. Contudo, seguindo a demonstração básica, chegamos a:
Resposta
Demonstramos que o fluxo magnético através da bobina é dado por
, onde
.
Exercícios relacionados
Verifique se
nos seguintes casos. (explique o porquê).
Obtenha uma equação geral para o plano que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Um dipolo elétrico de módulo
gira no plano xy com velocidade angular constante
. Um observador situado no plano xz observa a radiação emitida numa direção que faz um ângulo
com o eixo
. Na posição do observador, determine o vetor campo elétrico associado à radiação
- em função dos versores
e
. Obs.: apresente a expressão da parte real do campo.
Calcule
para que a reta
esteja contida no plano
.