DEMONSTRE que: o fluxo magnético através da bobina é dado pela expressão: PhiB(t)=phiB 0 cos ^2(omega0 t), com phiB 0=2 pi integral0^R B0(r) r d r, em que B0(r) representa o módulo do campo magnético na região da bobina em t=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o fluxo magnético através de uma bobina é dado por , onde é definido como . Então, o conteúdo aqui envolve fluxo magnético, campos magnéticos e um pouco de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético e aplicar algumas propriedades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo magnético. O fluxo magnético PhiB = integral B cdot dA através de uma superfície é dado pela integral do produto do campo magnético pela área dessa superfície, ou seja:
No caso de uma bobina, imaginamos que o campo magnético está passando perpendicularmente à área da bobina.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o campo magnético B(r, t) = B0(r) cos(omega0 t) na região da bobina depende do tempo e da posição radial . No instante , esse campo é dado por . Então, podemos escrever o campo magnético em qualquer tempo como:
Aqui, é a frequência angular do campo magnético.

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de PhiB(t) = integral B(r, t) cdot dA = integral B0(r) cos(omega0 t) cdot dA na fórmula do fluxo magnético:
PhiB(t) = cos(omega0 t) integral B0(r) cdot dA
Como o campo está perpendicular à área da bobina, podemos simplificar para:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dA = 2pi r , dr . Em coordenadas polares, a área diferencial integral B0(r) cdot dA = 2pi integral0^R B0(r) r , dr de um anel com raio phiB 0 = 2pi integral0^R B0(r) r , dr e espessura é:
Então, a integral fica:
Essa integral é exatamente a definição de :

Passo 6

Substituindo PhiB(t) = cos(omega0 t) cdot phiB 0 de volta na expressão do fluxo magnético, temos:
PhiB(t) = phiB 0 cos(omega0 t)
Mas o enunciado pede . Isso sugere que há uma relação adicional que envolve o quadrado do cosseno. Pode ser que a energia ou outra propriedade esteja relacionada ao quadrado do fluxo. Contudo, seguindo a demonstração básica, chegamos a:

Resposta

Demonstramos que o fluxo magnético através da bobina é dado por , onde .

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