Nos Problemas 19 a 22, os pares de retas r1 e r2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém. r1:lx=1+2 t y=-2+3 t z=3-t e r2:lx=1-2 t y=-2-t z=3+2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço, chamadas e . O exercício quer saber se elas são paralelas ou se cruzam em algum ponto (são concorrentes). Depois disso, precisamos achar a equação geral do plano que contém essas duas retas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, trabalhando com vetores e equações de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das duas retas. Olhando as equações paramétricas:
r1: x = 1 + 2t y = -2 + 3t z = 3 - t r2: x = 1 - 2t y = -2 - t z = 3 + 2t
Podemos ver que o vetor diretor da reta é e o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Isso acontece se os vetores diretores forem múltiplos um do outro, ou seja, se existir um escalar -2 = k cdot 2 Rightarrow k = -1 -1 = k cdot 3 Rightarrow k = -13 2 = k cdot (-1) Rightarrow k = -2 tal que .
Vamos comparar os componentes:
Como não é o mesmo em todas as componentes, as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, elas podem ser concorrentes, ou seja, podem se intersectar em algum ponto. Para verificar isso, vamos igualar as equações paramétricas das duas retas e tentar encontrar um valor de 1 + 2t = 1 - 2t Rightarrow 4t = 0 Rightarrow t = 0 -2 + 3t = -2 - t Rightarrow 4t = 0 Rightarrow t = 0 3 - t = 3 + 2t Rightarrow -3t = 0 Rightarrow t = 0 que satisfaça todas as três equações simultaneamente.
Igualando as equações:
x = 1, y = -2, z = 3
Obtemos para todas as equações, então as retas se intersectam no ponto correspondente a .
Substituindo em :
Portanto, elas se cruzam no ponto .

Passo 5

Agora que sabemos que as retas são concorrentes, podemos encontrar o plano que as contém. Para isso, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano.
Já temos um ponto comum às duas retas: n = v1 times v2 = i & j & k 2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2 = i(3 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - j(2 cdot 2 - (-1) cdot (-2)) + k(2 cdot (-1) - 3 cdot (-2)) = i(6 - 1) - j(4 - 2) + k(-2 + 6) = 5i - 2j + 4k .
Os vetores diretores das retas e estão no plano, então o vetor normal ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores:
Então, .

Passo 6

Com o vetor normal 5(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 3) = 0 e o ponto 5x - 5 - 2y - 4 + 4z - 12 = 0 5x - 2y + 4z - 21 = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a forma:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas 5x - 2y + 4z - 21 = 0 e é:

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