O plano pi: x+y-z=2 intersecta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área do triângulo ABC.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o plano pi: x + y - z = 2 que cruza os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Nosso objetivo é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos precisar entender como encontrar onde o plano intercepta cada um dos eixos e, depois, usar essas coordenadas pra calcular a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde o plano corta o eixo x. Quando o plano intersecta o eixo x, as coordenadas y e z são zero. Então, substituímos y = 0 e z = 0 na equação do plano:
x + 0 - 0 = 2 Rightarrow x = 2
Então, o ponto A é (2, 0, 0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Nesse caso, x e z são zero. Substituímos x = 0 e z = 0 na equação do plano:
0 + y - 0 = 2 Rightarrow y = 2
Assim, o ponto B é (0, 2, 0).

Passo 4

Por último, vamos descobrir onde o plano corta o eixo z. Aqui, x e y são zero. Substituímos x = 0 e y = 0 na equação do plano:
0 + 0 - z = 2 Rightarrow -z = 2 Rightarrow z = -2
Então, o ponto C é (0, 0, -2).

Passo 5

Agora que temos os três pontos A (2, 0, 0), B (0, 2, 0) e C (0, 0, -2), vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando determinantes:
Área = 12 | AB times AC | Á
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0)
AC = C - A = (0 - 2, 0 - 0, -2 - 0) = (-2, 0, -2)
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & -2 = i(2 cdot (-2) - 0 cdot 0) - j((-2) cdot (-2) - 0 cdot (-2)) + k((-2) cdot 0 - 2 cdot (-2))
= i(-4) - j(4) + k(4) = (-4, -4, 4)
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3
Finalmente, a área do triângulo é:
Área = 12 times 4raiz3 = 2raiz3 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é 2raiz3 unidades de área.

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