O plano intersecta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área do triângulo ABC.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o plano que cruza os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Nosso objetivo é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos precisar entender como encontrar onde o plano intercepta cada um dos eixos e, depois, usar essas coordenadas pra calcular a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde o plano corta o eixo x. Quando o plano intersecta o eixo x, as coordenadas y e z são zero. Então, substituímos e na equação do plano:
Então, o ponto A é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção com o eixo y. Nesse caso, x e z são zero. Substituímos e na equação do plano:
Assim, o ponto B é .
Passo 4
Por último, vamos descobrir onde o plano corta o eixo z. Aqui, x e y são zero. Substituímos e na equação do plano:
Então, o ponto C é .
Passo 5
Agora que temos os três pontos A , B e C , vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando determinantes:
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0)
AC = C - A = (0 - 2, 0 - 0, -2 - 0) = (-2, 0, -2)
Agora, calculamos o produto vetorial AB times AC:
AB times AC = i & j & k -2 & 2 & 0 -2 & 0 & -2 = i(2 cdot (-2) - 0 cdot 0) - j((-2) cdot (-2) - 0 cdot (-2)) + k((-2) cdot 0 - 2 cdot (-2))
= i(-4) - j(4) + k(4) = (-4, -4, 4)
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2 = raiz16 + 16 + 16 = raiz48 = 4raiz3
Finalmente, a área do triângulo é:
Área = 12 times 4raiz3 = 2raiz3 Á
Resposta
A área do triângulo ABC é 2raiz3 unidades de área.