Calcule (M+A^top)(M^top-A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a expressão . Aqui estamos trabalhando com matrizes, especificamente operações de soma, transposta e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir o produto de duas matrizes e usar as propriedades das matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, a gente pode usar a distributiva, ou seja, (M + A^top)(M^top - A) = M cdot M^top - M cdot A + A^top cdot M^top - A^top cdot A . Aplicando isso na nossa expressão:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo:
  1. : Essa é a multiplicação de pela sua transposta. Isso geralmente resulta em uma matriz simétrica.
  2. : Multiplicamos por e tiramos o resultado.
  3. : Aqui usamos a propriedade de que , então isso é igual a .
  4. : Multiplicamos por e também tiramos o resultado.

Passo 4

Vamos simplificar mais um pouco. Note que - M cdot A + (M cdot A)^top pode ser reescrito usando a propriedade da transposta:
(M + A^top)(M^top - A) = M cdot M^top - M cdot A + (M cdot A)^top - A^top cdot A
Então, juntando tudo, temos:

Resposta

Portanto, a expressão expandida é:
(M + A^top)(M^top - A) = M M^top - M A + (M A)^top - A^top A

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