Sejam
um espaço vetorial,
um elemento qualquer de
e
um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que
em um espaço vetorial
. Aqui, estamos lidando com os axiomas de espaço vetorial, que são as regras básicas que definem como os vetores se comportam. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de vetores por escalares e a adição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, podemos adicionar vetores e multiplicar vetores por números reais (escalares). Um dos axiomas diz que a multiplicação por escalares é compatível com a adição de vetores. Ou seja, para qualquer vetor
e escalares
e
, temos:
Passo 3
No nosso caso, queremos somar o vetor
três vezes:
. Podemos pensar nisso como multiplicar
por 3. De acordo com o axioma que mencionamos, isso seria:
Passo 4
Portanto, aplicando esse axioma diretamente, vemos que a soma de três vetores
é igual a multiplicar o vetor
por 3.