Sejam V um espaço vetorial, v in V um elemento qualquer de V e alpha in R um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
a) v+v+v=3 v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar que v + v + v = 3 v em um espaço vetorial V. Aqui, estamos lidando com os axiomas de espaço vetorial, que são as regras básicas que definem como os vetores se comportam. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de vetores por escalares e a adição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, podemos adicionar vetores e multiplicar vetores por números reais (escalares). Um dos axiomas diz que a multiplicação por escalares é compatível com a adição de vetores. Ou seja, para qualquer vetor v e escalares a e b, temos:
(a + b)v = av + bv

Passo 3

No nosso caso, queremos somar o vetor v três vezes: v + v + v. Podemos pensar nisso como multiplicar v por 3. De acordo com o axioma que mencionamos, isso seria:
3v = v + v + v

Passo 4

Portanto, aplicando esse axioma diretamente, vemos que a soma de três vetores v é igual a multiplicar o vetor v por 3.

Resposta

v + v + v = 3 v

Exercícios relacionados