Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaço do
. Justifique.
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos checar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir na equação de
:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Para que
esteja em
, devemos ter:
No entanto,
não é uma expressão linear, o que complica a igualdade. Isso indica que, em geral, a soma de dois vetores em
pode não satisfazer a equação
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Como
não é fechado sob adição, já podemos concluir que
não é um subespaço de
. Não precisamos verificar a última condição (fechado sob multiplicação por escalar), pois todas as três condições precisam ser atendidas para que
seja um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
.