Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaço do R^3. Justifique.
S=(x, y, z) mid x^2+y+z=0.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos checar se o vetor zero está em 0^2 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos substituir na equação de :
Isso é verdade, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em (x1 + x2)^2 + (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0 , a soma deles também deve estar em .
Sejam e dois vetores em . A soma deles é:
Para que esteja em , devemos ter:
No entanto, não é uma expressão linear, o que complica a igualdade. Isso indica que, em geral, a soma de dois vetores em pode não satisfazer a equação . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Como não é fechado sob adição, já podemos concluir que não é um subespaço de . Não precisamos verificar a última condição (fechado sob multiplicação por escalar), pois todas as três condições precisam ser atendidas para que seja um subespaço.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de .

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