Verifique que a matriz
C=13[ccc 2 & -2 & 1 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 1 ]
é a matriz inversa da matriz A .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a matriz C = 13 2 & -2 & 1 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 1 definida por
E a tarefa é verificar se é a matriz inversa da matriz . Para isso, precisamos entender o que é uma matriz inversa e como podemos verificar essa relação.

Passo 2

Uma matriz inversa de uma matriz I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é uma matriz tal que quando multiplicamos por , o resultado é a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições. No caso de matrizes 3x3, a identidade é:
Então, para verificar se é a inversa de , precisamos calcular e ver se obtemos a matriz identidade.

Passo 3

Como a matriz não foi fornecida diretamente no enunciado, vamos assumir que queremos encontrar tal que seja sua inversa. Para isso, lembramos que se é inversa de , então é a inversa de . Portanto, podemos calcular calculando a inversa de .

Passo 4

Para encontrar a inversa de det(C) = 13 times det 2 & -2 & 1 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 1 , precisamos primeiro calcular o determinante de det = 2 times (2 times 1 - (-1) times 1) - (-2) times (1 times 1 - (-1) times (-1)) + 1 times (1 times 1 - 2 times (-1)) . O determinante é uma fórmula matemática que ajuda a verificar se uma matriz possui inversa (se o determinante for diferente de zero) e é usada no cálculo da própria inversa.
Vamos calcular o determinante de det = 2 times (2 + 1) - (-2) times (1 - 1) + 1 times (1 + 2) = 2 times 3 - (-2) times 0 + 1 times 3 = 6 + 0 + 3 = 9 :
det(C) = 13 times 9 = 3
Calculando o determinante da matriz dentro:
Simplificando:
Então,
Como o determinante é diferente de zero, possui inversa.

Passo 5

Agora, para encontrar a inversa de C^-1 = 1det(C) times adj(C) , utilizamos a seguinte fórmula para matrizes 3x3:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 6

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de 2 & -1 1 & 1. Cada elemento do cofator é calculado removendo a linha e a coluna do elemento e calculando o determinante da matriz restante, multiplicado por 1 & -1 -1 & 1 onde 1 & 2 -1 & 1 e -2 & 1 1 & 1 são os índices da linha e coluna do elemento.
Calculando os cofatores:
  • Cofator 2 & 1 -1 & 1
  • Cofator 2 & -2 -1 & 1
  • Cofator -2 & 1 2 & -1
  • Cofator 2 & 1 1 & -1
  • Cofator 2 & -2 1 & 2
  • Cofator Cof(C) = 3 & 0 & 3 3 & 3 & 0 0 & 3 & 6
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
Portanto, a matriz dos cofatores é:

Passo 7

Agora, encontramos a adjunta de adj(C) = 3 & 3 & 0 0 & 3 & 3 3 & 0 & 6 que é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Finalmente, calculamos a inversa de C^-1 = 1det(C) times adj(C) = 13 times 3 & 3 & 0 0 & 3 & 3 3 & 0 & 6 = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 :

Resposta

A matriz inversa de A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 é
Portanto, é realmente a matriz inversa de .

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