Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e o plano .
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde , e são positivos), limitado pelo cilindro e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas de cálculo para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies que limitam o sólido. O cilindro é uma superfície parabólica que se abre para baixo no eixo . O plano é uma parede vertical paralela ao eixo .
Passo 3
No primeiro octante, os valores de , e variam de 0 até os limites impostos pelas superfícies. Vamos determinar os limites de integração para cada uma dessas variáveis.
Passo 4
O plano define que varia de 0 a 1:
Passo 5
Para encontrar os limites de , observamos a equação do cilindro . Como estamos no primeiro octante, , então:
Passo 6
Para cada valor de , varia de 0 até :
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :