Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro e o plano .

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Precisamos encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde , e são positivos), limitado pelo cilindro e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas de cálculo para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies que limitam o sólido. O cilindro é uma superfície parabólica que se abre para baixo no eixo . O plano é uma parede vertical paralela ao eixo .

Passo 3

No primeiro octante, os valores de , e variam de 0 até os limites impostos pelas superfícies. Vamos determinar os limites de integração para cada uma dessas variáveis.

Passo 4

O plano define que varia de 0 a 1:

Passo 5

Para encontrar os limites de , observamos a equação do cilindro . Como estamos no primeiro octante, , então:

Passo 6

Para cada valor de , varia de 0 até :

Passo 7

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :

Passo 8

Começamos integrando em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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