Calcule a massa e o centro de massa da lâmina triangular com vértices (0,0),(1,0) e 0,2 se a função densidade é dada por
rho(x, y) = 1 + 3x + 2y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em (0,0), 1,0 e 0,2. A função densidade é dada por . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. Temos um triângulo com vértices em (0,0), 1,0 e 0,2. Para facilitar a integração, vamos expressar os limites de integração em termos de y para um intervalo fixo de x.

Passo 3

Vamos determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo. A reta que vai de (0,0) a 1,0 é simplesmente . A reta de (0,0) a 0,2 é x = 0. E a reta de 1,0 a 0,2 pode ser encontrada pela equação linear:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para x, varia de 0 a 1. Para cada valor de x, y varia de 0 até a reta . Então, nossa região de integração é:

Passo 5

Vamos calcular a massa M da lâmina usando a integral dupla da densidade sobre a região:
Vamos resolver a integral interna primeiro em relação a y.

Passo 6

Integrando em relação a y:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a x:

Passo 9

Agora que temos a massa, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Vamos começar com .

Passo 10

Calculando :

Passo 11

Agora, vamos calcular :
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 12

Simplificando:
Agora, somamos tudo:

Passo 13

Vamos distribuir e combinar termos:
Combinando termos semelhantes:

Passo 14

Agora, integramos essa expressão em relação a x:

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa, e o centro de massa está nas coordenadas .

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