Calcule a massa e o centro de massa da lâmina triangular com vértices e se a função densidade é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices em , e . A função densidade é dada por . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde a lâmina está localizada. Temos um triângulo com vértices em , e . Para facilitar a integração, vamos expressar os limites de integração em termos de para um intervalo fixo de .
Passo 3
Vamos determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo. A reta que vai de a é simplesmente . A reta de a é . E a reta de a pode ser encontrada pela equação linear:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para , varia de a . Para cada valor de , varia de até a reta . Então, nossa região de integração é:
Passo 5
Vamos calcular a massa da lâmina usando a integral dupla da densidade sobre a região:
Vamos resolver a integral interna primeiro em relação a .
Passo 6
Integrando em relação a :
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a :
Passo 9
Agora que temos a massa, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Vamos começar com .
Passo 10
Calculando :
Passo 11
Agora, vamos calcular :
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 12
Simplificando:
Agora, somamos tudo:
Passo 13
Vamos distribuir e combinar termos:
Combinando termos semelhantes:
Passo 14
Agora, integramos essa expressão em relação a x:
Resposta
A massa da lâmina é unidades de massa, e o centro de massa está nas coordenadas .