O mapa de um bairro é um quadriculado no qual as retas são paralelas a duas avenidas que se cruzam no centro do bairro. Cada ponto do bairro é definido neste quadriculado por coordenadas (x, y) para -10 <= x <= 10, -8 <= y <= 8, com x e y em quilômetros. Suponha que o valor da terra no ponto (x, y) seja V milhares de reais, onde
V = (300 + x + y) e^(-0,01 x)
Estime o valor de um terreno que ocupe a região retangular -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como calcular o valor de um terreno numa região específica de um bairro, onde o valor da terra varia conforme as coordenadas (x, y). Vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para estimar esse valor. Precisaremos entender como integrar a função de valor V(x, y) sobre a área retangular dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que nos dá o valor da terra. A função é:
Essa função nos diz quanto vale cada ponto (x, y) da região em milhares de reais.

Passo 3

A região que queremos avaliar é um retângulo definido por -1 <= x <= 1 e . Para encontrar o valor total desse terreno, precisamos somar os valores de todos os pontos dessa região. Isso é feito calculando a integral dupla da função V(x, y) sobre os limites dados.

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla para essa região:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y de -1 a 1, e depois em relação a x de -1 a 1.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
Como não depende de y, podemos tirá-lo da integral:
Agora, vamos integrar em relação a y:
Avaliado de a :
Então, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x de -1 a 1:
Podemos separar a integral:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Avaliado de -1 a 1:
Segunda integral:
Para , usamos integra��ão por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de -1 a 1:

Passo 8

Agora, juntando tudo:

Passo 9

Agora, calculamos numericamente:
Sabemos que e . Substituindo:

Resposta

O valor estimado do terreno é aproximadamente R$12.898.000, ou seja, R$ 12.898 milhares de reais.

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