O mapa de um bairro é um quadriculado no qual as retas são paralelas a duas avenidas que se cruzam no centro do bairro. Cada ponto do bairro é definido neste quadriculado por coordenadas
para
, com
e
em quilômetros. Suponha que o valor da terra no ponto
seja
milhares de reais, onde
Estime o valor de um terreno que ocupe a região retangular
.
Estime o valor de um terreno que ocupe a região retangular
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como calcular o valor de um terreno numa região específica de um bairro, onde o valor da terra varia conforme as coordenadas
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, para estimar esse valor. Precisaremos entender como integrar a função de valor
sobre a área retangular dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função que nos dá o valor da terra. A função é:
Essa função nos diz quanto vale cada ponto
da região em milhares de reais.
Passo 3
A região que queremos avaliar é um retângulo definido por
e
. Para encontrar o valor total desse terreno, precisamos somar os valores de todos os pontos dessa região. Isso é feito calculando a integral dupla da função
sobre os limites dados.
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla para essa região:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
não depende de
, podemos tirá-lo da integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Avaliado de
a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de
a
:
Podemos separar a integral:
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Avaliado de
a
:
Segunda integral:
Para
, usamos integra��ão por partes, onde:
-
→ -
→
Aplicando integração por partes:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Passo 9
Agora, calculamos numericamente:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
O valor estimado do terreno é aproximadamente R$12.898.000, ou seja, R$ 12.898 milhares de reais.