Calcule as seguintes integrais triplas: (d)
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular
, onde
é a região dentro da esfera de raio 1, ou seja,
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, a região
(a esfera de raio 1) fica mais simples:
varia de 0 a 1,
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 4
Agora, substituímos na integral. A função
se torna
em coordenadas esféricas. O elemento de volume
vira
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
Agora, sobra a integral em
:
Para resolver essa, fazemos uma substituição
, então
ou
. A integral fica:
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.