Calcule as seguintes integrais triplas: (d) integral triplaW e^(x^2+y^2+z^2)^2 / 2 d x d y d z onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular , onde é a região dentro da esfera de raio 1, ou seja, . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = r sinphi costheta,
y = r sinphi sintheta,
z = r cosphi,
onde é a distância do ponto à origem, é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, a região (a esfera de raio 1) fica mais simples: varia de 0 a 1, de 0 a e de 0 a .

Passo 4

Agora, substituímos na integral. A função integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^2 , r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta se torna em coordenadas esféricas. O elemento de volume vira . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^pi sinphi , dphi = 2
Depois, a integral em integral0^1 e^r^2 , r^2 , dr :
12 integral0^1 u e^u , du = 12 [ (u - 1) e^u ]0^1 = 12 [ (1 - 1)e^1 - (0 - 1)e^0 ] = 12 (0 + 1) = 12
Agora, sobra a integral em 2pi times 2 times 12 = 2pi :
Para resolver essa, fazemos uma substituição , então ou . A integral fica:
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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