Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com as condições iniciais e . O assunto aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. A transformada de é e a transformada de é simplesmente . Então, transformando toda a equação:

Passo 3

Vamos simplificar a equação para resolver :
Isolando :

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar . Vamos quebrar a fração em partes conhecidas:
Sabemos que:
Aqui, então .

Passo 5

Aplicando as transformadas inversas:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Calcule a massa do cilindro , admitindo que a densidade seja dada por .
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Calcule o volume do conjunto de todos tais que e .