Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O assunto aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. A transformada de
é
e a transformada de
é simplesmente
. Então, transformando toda a equação:
Passo 3
Vamos simplificar a equação para resolver
:
Isolando
:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Vamos quebrar a fração em partes conhecidas:
Sabemos que:
Aqui,
então
.
Passo 5
Aplicando as transformadas inversas:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Calcule a massa do cilindro
, admitindo que a densidade seja dada por
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial, usando a transformada de Laplace:
d)
d)
Nos exercícios 23-48, encontre as derivadas das funções.
Calcule o volume do conjunto
de todos
tais que
e
.