Seja X uma variável aleatória com os seguintes dados:
x 0 1 2 3
p(x) 0,512 0,301 0,132 0,055
c) Supondo que a tabela descreve uma distribuição de probabilidade, calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma tabela com os valores possíveis de uma variável aleatória e suas respectivas probabilidades. Nosso objetivo aqui é calcular a variância e o desvio padrão dessa distribuição de probabilidade. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média (ou esperança matemática), a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a média ( ) da variável . A média é o valor esperado que representa o “centro” da distribuição. Ela é calculada multiplicando cada valor de pela sua probabilidade correspondente e somando todos esses produtos:
Vamos fazer isso com os dados fornecidos:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 3

Agora que temos a média, podemos calcular a variância ( ). A variância mede o quanto os valores de estão espalhados em torno da média. A fórmula para a variância é:
Vamos calcular cada termo passo a passo.
Primeiro, calculamos para cada valor de :
Agora, multiplicamos cada um desses resultados pela probabilidade :
Somando tudo:

Passo 4

Finalmente, para encontrar o desvio padrão ( ), que é a raiz quadrada da variância, usamos:

Resposta

A variância da distribuição é aproximadamente e o desvio padrão é aproximadamente .

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