Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a) gamma(t) = (t, sen(t), 2 cos(t)), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão onde precisamos identificar e esboçar o traço da curva para todo t real. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre curvas parametrizadas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da função influencia o caminho da curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da curva parametrizada. A função gamma(t) tem três componentes: , e .

Passo 3

A componente indica que à medida que t varia, a coordenada x aumenta ou diminui linearmente. Isso significa que a curva vai se estender indefinidamente ao longo do eixo x.

Passo 4

A componente descreve um movimento oscilatório no eixo y. A função seno varia entre -1 e 1, então a coordenada y vai oscilar entre esses valores à medida que t aumenta.

Passo 5

A componente também descreve um movimento oscilatório, mas no eixo z. Aqui, a amplitude da oscilação é 2 porque a função cosseno é multiplicada por 2, então z varia entre -2 e 2.

Passo 6

Agora, juntando essas três componentes, vemos que conforme t aumenta, a curva se move para frente no eixo x, enquanto simultaneamente oscila nos eixos y e z. Isso cria um traço que parece uma hélice, mas com amplitudes diferentes nas oscilações de y e z.

Passo 7

Para esboçar, imagine um eixo x largo no centro. A curva vai enrolar-se em torno desse eixo, oscilando lateralmente de acordo com e verticalmente de acordo com . Dessa forma, ela se move para a frente no eixo x enquanto faz essas oscilações periódicas.

Resposta

O traço da curva é uma hélice que se estende indefinidamente ao longo do eixo x, oscilando sinusoidalmente nos eixos y e z com amplitudes de 1 e 2, respectivamente. O esboço mostraria uma espiral ascendente no espaço tridimensional, afastando-se continuamente no eixo x enquanto oscila verticalmente e lateralmente.

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