Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão onde precisamos identificar e esboçar o traço da curva
para todo
real. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre curvas parametrizadas no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como cada componente da função influencia o caminho da curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da curva parametrizada. A função
tem três componentes:
,
e
.
Passo 3
A componente
indica que à medida que
varia, a coordenada
aumenta ou diminui linearmente. Isso significa que a curva vai se estender indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 4
A componente
descreve um movimento oscilatório no eixo
. A função seno varia entre -1 e 1, então a coordenada
vai oscilar entre esses valores à medida que
aumenta.
Passo 5
A componente
também descreve um movimento oscilatório, mas no eixo
. Aqui, a amplitude da oscilação é 2 porque a função cosseno é multiplicada por 2, então
varia entre -2 e 2.
Passo 6
Agora, juntando essas três componentes, vemos que conforme
aumenta, a curva se move para frente no eixo
, enquanto simultaneamente oscila nos eixos
e
. Isso cria um traço que parece uma hélice, mas com amplitudes diferentes nas oscilações de
e
.
Passo 7
Para esboçar, imagine um eixo
largo no centro. A curva vai enrolar-se em torno desse eixo, oscilando lateralmente de acordo com
e verticalmente de acordo com
. Dessa forma, ela se move para a frente no eixo
enquanto faz essas oscilações periódicas.
Resposta
O traço da curva
é uma hélice que se estende indefinidamente ao longo do eixo
, oscilando sinusoidalmente nos eixos
e
com amplitudes de 1 e 2, respectivamente. O esboço mostraria uma espiral ascendente no espaço tridimensional, afastando-se continuamente no eixo
enquanto oscila verticalmente e lateralmente.