Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t, ou ainda, para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=raizx^2+y^2, x=e^2 s e y=e^-2 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais de z = raizx^2 + y^2 em relação a x = e^2s e y = e^-2t e . O enunciado nos dá que:
onde:
Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot dxds + partial zpartial y cdot dyds . Para isso, aplicamos a Regra da Cadeia:
Mas como não depende de , a segunda parte vai ser zero.

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x = xraizx^2 + y^2 e dxds = 2e^2s :
partial zpartial s = xraizx^2 + y^2 cdot 2e^2s
Então, substituindo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial zpartial t = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt usando a Regra da Cadeia:
Aqui, não depende de , então é zero.

Passo 5

Calcular partial zpartial y = yraizx^2 + y^2 e dydt = -2e^-2t :
partial zpartial t = yraizx^2 + y^2 cdot (-2e^-2t)
Então, substituindo:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2x e^2sraizx^2 + y^2
partial zpartial t = -2y e^-2traizx^2 + y^2

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