Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da expressão
. Isso está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar algumas propriedades dessas transformadas e talvez fazer decomposição em frações parciais para a segunda parte.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as duas partes da expressão para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada transformada inversa de Laplace separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: . Sabemos que:
Aqui, comparando com
, vemos que
e
, então
.
Passo 4
Aplicando a fórmula acima, temos:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
. Primeiro, precisamos fatorar o denominador ou completá-lo para facilitar a inversão. Vamos tentar fatorar:
Então, podemos escrever:
Passo 6
Para fazer a inversão, vamos usar decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 7
Agora, vamos achar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplifiquem a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Substituindo
e
na expressão das frações parciais:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Passo 10
Juntando tudo, a transformada inversa completa é:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é:
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, em que
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