Calcule L^{-1} { 1/(s-1)^{3} + 1/(s^{2} + 2s - 8) }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de Laplace da expressão . Isso está ligado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar algumas propriedades dessas transformadas e talvez fazer decomposição em frações parciais para a segunda parte.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as duas partes da expressão para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada transformada inversa de Laplace separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . Sabemos que:
Aqui, comparando com , vemos que e , então .

Passo 4

Aplicando a fórmula acima, temos:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: . Primeiro, precisamos fatorar o denominador ou completá-lo para facilitar a inversão. Vamos tentar fatorar:
Então, podemos escrever:

Passo 6

Para fazer a inversão, vamos usar decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 7

Agora, vamos achar os valores de e . Escolhemos valores de que simplifiquem a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Substituindo e na expressão das frações parciais:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Passo 10

Juntando tudo, a transformada inversa completa é:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

Exercícios relacionados

Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
h(x) = (x^3 + 5 x^2 - 4) / x^2
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{cos(2 t) U(t - pi)};
Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
g(x) = ln(x) / (x ln(x^2)), em que ln denota o logaritmo de base e (base natural).
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}(1/(s^{2}(s+4)));