Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado à Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais convertendo funções do tempo para o domínio de frequência. Para resolver isso, vamos usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar a transformada inversa em cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples que a gente já sabe a transformada inversa.
Passo 3
Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Para que a equação seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos com a mesma potência de devem ser iguais. Então, temos:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
De , temos .
Substituindo na segunda equação: → .
Substituindo na primeira equação: → .
Passo 9
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 10
Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo: