Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}(1/(s^{2}(s+4)));

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado à Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais convertendo funções do tempo para o domínio de frequência. Para resolver isso, vamos usar frações parciais para simplificar a expressão e depois aplicar a transformada inversa em cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples que a gente já sabe a transformada inversa.

Passo 3

Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos expandir os termos:

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Para que a equação seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos com a mesma potência de devem ser iguais. Então, temos:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo na primeira equação: .

Passo 9

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 10

Agora, aplicamos a transformada inversa em cada termo:
  1. (Porque )
  2. (Porque )

Resposta

A transformada inversa é:

Exercícios relacionados

Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
g(x) = ln(x) / (x ln(x^2)), em que ln denota o logaritmo de base e (base natural).
Calcule L^{-1} { 1/(s-1)^{3} + 1/(s^{2} + 2s - 8) }.
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{s/(s^{2}+4s+5)};
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/((s-2)(s^{2}+4 s+3))};