Calcule a primitiva mais geral das seguintes funções:
g(x) = ln(x) / (x ln(x^2)), em que ln denota o logaritmo de base e (base natural).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a primitiva mais geral da função . Isso envolve o conteúdo de integrais, especificamente encontrar anti-derivadas de funções. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões logarítmicas e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Observa que o denominador tem . Sabemos que pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos:
Então, substituindo na função:

Passo 3

Agora, percebemos que está presente tanto no numerador quanto no denominador e podemos simplificar:
Isso simplifica muito nossa função para integrar. Agora, temos que encontrar a primitiva de .

Passo 4

A próxima etapa é integrar . Podemos tirar a constante para fora da integral:
Sabemos que a integral de é . Portanto:

Resposta

A primitiva mais geral de é:
Onde é a constante de integração.

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