Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{cos(2 t) U(t - pi)};

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso está ligado ao estudo das Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa. Para resolver isso, vamos usar propriedades das transformadas de Laplace, especialmente a propriedade do deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Essa é a função degrau de Heaviside, que vale 0 para e 1 para . Quando multiplicamos uma função por , estamos “ativando” essa função a partir de .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de . Para facilitar, vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace, que diz:
Onde é a transformada de Laplace de , e é o tempo de deslocamento.

Passo 4

Comparando com a nossa função , podemos identificar que e . A transformada de Laplace de é:
Portanto, usando a propriedade de deslocamento:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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