Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^(-1){(t-1)^{3} e^{t-1} U(t-1)}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com funções de atraso e polinômios multiplicados por exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema de mudança de variável e as propriedades da transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é a transformada inversa de Laplace. Ela nos permite encontrar a função no domínio do tempo, , a partir de sua representação no domínio de Laplace, . No nosso caso, queremos encontrar tal que:
Aqui, é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Defina:
Isso implica que:
E quando , então .

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos:
Agora, a expressão está em termos de e a função degrau , que é 1 para .

Passo 5

Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Comparando com nossa expressão, temos e . Portanto:

Passo 6

Agora, aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo , obtemos:

Passo 7

Simplificando, a função inversa é:

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace é:

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Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/((s-2)(s^{2}+4 s+3))};
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{s/(s^{2}+4s+5)};
Calcule L^{-1}{e^{-\pi s/2}/(s^{2}+9)}.
Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
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