Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções de atraso e polinômios multiplicados por exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema de mudança de variável e as propriedades da transformada de Laplace para funções com deslocamento no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é a transformada inversa de Laplace. Ela nos permite encontrar a função no domínio do tempo,
, a partir de sua representação no domínio de Laplace,
. No nosso caso, queremos encontrar
tal que:
Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que “liga” a função a partir de
.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a expressão. Defina:
Isso implica que:
E quando
, então
.
Passo 4
Substituindo
na expressão original, temos:
Agora, a expressão está em termos de
e a função degrau
, que é 1 para
.
Passo 5
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Comparando com nossa expressão, temos
e
. Portanto:
Passo 6
Agora, aplicando a transformada inversa, temos:
Substituindo
, obtemos:
Passo 7
Simplificando, a função inversa é:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace é:
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Calcule
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