Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a transformada inversa de uma função no domínio de
para o domínio do tempo
. O enunciado é:
Para isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a técnica de decomposição em frações parciais. Isso vai ajudar a simplificar a função para que possamos aplicar a transformada inversa mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso nos ajuda a identificar as raízes e simplificar a expressão.
Então, agora a nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Ou seja, vamos expressar a função como uma soma de frações mais simples:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de
que vão simplificar a equação e facilitar a resolução dos coeficientes.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher
:
Passo 6
Agora, escolhemos
:
Passo 7
Por último, escolhemos
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados de
,
e
na expressão das frações parciais:
Simplificando, temos:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Juntando tudo, a transformada inversa é: