Obtenha a transformada inversa de cada uma das funções a seguir.
L^{-1}{1/((s-2)(s^{2}+4 s+3))};

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a transformada inversa de uma função no domínio de para o domínio do tempo . O enunciado é:
Para isso, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, especificamente a técnica de decomposição em frações parciais. Isso vai ajudar a simplificar a função para que possamos aplicar a transformada inversa mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso nos ajuda a identificar as raízes e simplificar a expressão.
Então, agora a nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Ou seja, vamos expressar a função como uma soma de frações mais simples:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que vão simplificar a equação e facilitar a resolução dos coeficientes.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher :

Passo 6

Agora, escolhemos :

Passo 7

Por último, escolhemos :

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados de , e na expressão das frações parciais:
Simplificando, temos:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa é:

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